使用 Python 进行费马因式分解答案

【问题标题】：Fermat Factorisation with Python使用 Python 进行费马因式分解
【发布时间】：2013-12-09 06:34:24
【问题描述】：

Python 新手，不知道为什么我的费马分解方法失败了？我认为这可能与实施大量数字的方式有关，但我对语言的了解不足，无法确定我哪里出错了。

当 n=p*q 与 p 和 q 非常接近（如在彼此之间大约 20 以内）时，下面的代码可以工作，但如果它们相距更远，似乎会永远运行。例如，n=991*997 代码可以正常工作并在 n=104729*104659 也是如此。但是，如果我将其更改为n=103591*104659，它将永远运行（好吧，我让它运行 2 小时然后停止它）。

任何正确方向的观点将不胜感激！

代码：

import math

def isqrt(n):
  x = n
  y = (x + n // x) // 2
  while y < x:
    x = y
    y = (x + n // x) // 2
  return x

n=103591*104729

a=isqrt(n) + 1
b2=a*a - n
b=isqrt(b2)

while b*b!=b2:
  a=a+1
  b2=b2+2*a+1
  b=isqrt(b2)

p=a+b
q=a-b

print('a=',a,'\n')
print('b=',b,'\n')
print('p=',p,'\n')
print('q=',q,'\n')
print('pq=',p*q,'\n')
print('n=',n,'\n')
print('diff=',n-p*q,'\n')

【问题讨论】：

标签： python factorization

【解决方案1】：

我在Wikipedia 上查找了算法，这对我有用：

#from math import ceil

def isqrt(n):
  x = n
  y = (x + n // x) // 2
  while y < x:
    x = y
    y = (x + n // x) // 2
  return x

def fermat(n, verbose=True):
    a = isqrt(n) # int(ceil(n**0.5))
    b2 = a*a - n
    b = isqrt(n) # int(b2**0.5)
    count = 0
    while b*b != b2:
        if verbose:
            print('Trying: a=%s b2=%s b=%s' % (a, b2, b))
        a = a + 1
        b2 = a*a - n
        b = isqrt(b2) # int(b2**0.5)
        count += 1
    p=a+b
    q=a-b
    assert n == p * q
    print('a=',a)
    print('b=',b)
    print('p=',p)
    print('q=',q)
    print('pq=',p*q)
    return p, q

n=103591*104729
fermat(n)

我尝试了几个测试用例。这个来自维基百科页面：

>>> fermat(5959)
Trying: a=78 b2=125 b=11
Trying: a=79 b2=282 b=16
a= 80
b= 21
p= 101
q= 59
pq= 5959
(101, 59)

这是您的示例案例：

>>> fermat(103591*104729)
Trying: a=104159 b2=115442 b=339
a= 104160
b= 569
p= 104729
q= 103591
pq= 10848981839
(104729, 103591)

查看标有“尝试”的行表明，在这两种情况下，它都很快收敛。

更新：来自 cmets 的非常长的整数因素如下：

n_long=316033277426326097045474758505704980910037958719395560565571239100878192955228495343184968305477308460190076404967552110644822298179716669689426595435572597197633507818204621591917460417859294285475630901332588545477552125047019022149746524843545923758425353103063134585375275638257720039414711534847429265419

fermat(n_long, verbose=False)
a= 17777324810733646969488445787976391269105128850805128551409042425916175469326288448917184096591563031034494377135896478412527365012246902424894591094668262
b= 157517855001095328119226302991766503492827415095855495279739107269808590287074235
p= 17777324810733646969488445787976391269105128850805128551409042425916175469483806303918279424710789334026260880628723893508382860291986009694703181381742497
q= 17777324810733646969488445787976391269105128850805128551409042425916175469168770593916088768472336728042727873643069063316671869732507795155086000807594027
pq= 316033277426326097045474758505704980910037958719395560565571239100878192955228495343184968305477308460190076404967552110644822298179716669689426595435572597197633507818204621591917460417859294285475630901332588545477552125047019022149746524843545923758425353103063134585375275638257720039414711534847429265419

【讨论】：

非常感谢！这似乎适用于小数字，但是当我使用大数字时，我得到“long int too large to convert to float”错误。我认为这是因为 n**0.5 声明？你有什么办法让这个工作在更大的数字上？例如n = 316033277426326097045474758505704980910037958719395560565571239100878192955228495343184968305477308460190076404967552110644822298179716669689426595435572597197633507818204621591917460417859294285475630901332588545477552125047019022149746524843545923758425353103063134585375275638257720039414711534847429265419 跨度>
@user3081739 这并不难：我使用了你的 isqrt 算法，它很容易处理你的长号码，尽管我在计算时确实出去喝咖啡休息了。
太完美了，谢谢！你知道为什么我的代码失败了吗？我可以看到两者之间的唯一区别是 b2 的迭代计算。你使用 b2 = a*a - n 而我使用 b2 = b2 + 2*a + 1？
@user3081739 我相信你是对的，这是唯一的重大变化。

【解决方案2】：

错误是在增加 a 之后进行加法，因此新值不是 a 的平方。这按预期工作：

while b*b!=b2:
  b2+=2*a+1  
  a=a+1  
  b=isqrt(b2)

对于大数字，它应该比计算具有更多位数的正方形更快。

【讨论】：