for 循环的计算复杂度 - 与我自己矛盾答案

【问题标题】：Computational complexity of for loops-Contradicting with myselffor 循环的计算复杂度 - 与我自己矛盾
【发布时间】：2013-02-26 10:02:32
【问题描述】：

我通过分析一个程序的运行时间有一个矛盾。例如，考虑以下代码：

for(int i=0;i<n;i++)
{
    for(int j=0;j<n;j++)
    {
         .....
    }
}

这里，第一个for循环的计算复杂度是O(n²)，第二个循环的计算复杂度是O(n)。但是，第二个循环执行 n² 次，而第一个循环执行 n 次。例如，如果我们在内循环中放置一个 cout 语句，它会输出 n² 次，但是如果我们在第一个循环内但在内循环之外的某个位置放置一个 cout，它会输出 n 次。那么为什么我们说内循环的复杂度是O(n)，而外循环的复杂度是O(n²)。我们说外循环的复杂度是O(n2) 但它执行 n 次，为什么会这样？我做错了什么吗？谢谢。

【问题讨论】：

第一个循环怎么会运行n^2次？
@Vallabh Patade 这就是我矛盾的地方。我们说外循环的复杂度是 O(n^2) 但它执行 n 次
我们说代码sn-p的复杂度是n^2。

标签： algorithm complexity-theory big-o asymptotic-complexity

【解决方案1】：

内部循环执行 n 次，耗时 O(n)。外循环执行内循环 n 次，但您必须为这 n 次外循环执行中的每一个计算内循环的成本。这使得它 O(n * O(n)) = O(n^2)。

【讨论】：

我知道，但是例如，如果我们在内循环中放置一个 cout 语句，它会输出 n^2 次，但是如果我们在第一个循环内但在内循环之外的某个位置放置一个 cout，它输出n次。那为什么我们说内循环的复杂度是O(n)，而外循环的复杂度是O(n^2)
@YasinRazlık：因为计算复杂度不是“循环运行多少次”，而是“例程中的语句执行了多少次”（大致）。在您的情况下，在执行外循环时，内循环中的语句（例如j++）运行 O(n^2) 次，因此很复杂。

【解决方案2】：

外循环将运行 n 次，内循环将运行 n 次，外循环的每个迭代使内循环运行 n^2 次。因此，内部循环中的语句将被执行 n^2 次。

【讨论】：

是的，它的内循环运行 n^2 次，时间复杂度为 O(n^2)。不是外面的

【解决方案3】：

假设 n = 7 ;那么

for(int i=0 ; i< 7 ; i++) //time complexity is : (1) + (7+1) + (7)
{
    for(int j=0;j<7;j++) //  time complexity is: (1) + [(7+1)+(7+1)+(7+1)+(7+1)+(7+1)+(7+1)+(7+1)] + (7)
    {
         .....
    }
}

总时间复杂度 = [2+2(7)] + [1 + (7+1)^2 + 7]

现在替换 7 = n ;我们会得到

总时间复杂度 = [2+2n] + [1 + (n+1)^2 + n] = 2 + 2n + 1 + (n^2 + 2n + 1) + n = n^2 + 5n + 4

这里的主导项是 n^2。所以最坏的情况将是 O(n^2)

【讨论】：