For 循环时间复杂度

【问题标题】：For Loops Time ComplexityFor 循环时间复杂度
【发布时间】：2019-06-16 18:42:44
【问题描述】：

对于给定的代码，Big-O 表示法的时间复杂度是多少？

for(int i = 1; i <= n; i++)
    for(int j = 1; j <= n; j = j + i)
             some_constant_statement

如果我没记错的话

First loop take  n times
Second loop n.long(n) time
For Second loop :

n + n/2 + n/3 + n/4 +...................n/n times
n(1 + 1/2 + 1/3 + ..............1/n) times means
n(long(n)) time
So, time complexity of entire piece of code is n.n.long(n)

如果我错了，请纠正我。

【问题讨论】：

H.Das，您的推理是正确的，只是您不必计算第一个循环，因为您在计算第二个循环的操作数时已经考虑到了它。它是 O(nlogn)
感谢您的指正！！所以时间复杂度是n.log(n)
链接的副本不是副本，因为内部循环的增量是1，而不是i。

标签： data-structures time-complexity big-o

【解决方案1】：

简答：时间复杂度为O(n log n)。

内循环每次都需要 n 步。确实：

for(int j = 1; j <= n; j = j + i)
         some_constant_statement

这里的j 总是从1（含）迭代到n（含），所以这将执行n/i 常量语句。

因此，操作的总数为：

    n
   ---
   \     1
n  /    ---
   ---   i
   i=1

总和是Harmonic series [wiki]。我们可以用Stirling's approximation [wiki] 来近似这个。因此我们知道：

     n                  n
    ---                ---
    \     1            \    1
    /    ---  ≤ ln n ≤ /   ---
    ---  i+1           ---  i
    i=1                i=1

这意味着我们可以说操作的总数具有时间复杂度O(n×ln n)。由于 log_a(b) = log a/log b，我们可以将其表述为 O(n log n) em>

【讨论】：