如何证明n个节点之间的最大连接数是n*(n-1)/2答案

【问题标题】：How to prove max number of connection between n nodes is n*(n-1)/2如何证明n个节点之间的最大连接数是n*(n-1)/2
【发布时间】：2012-12-05 19:03:11
【问题描述】：

给定n个节点，如果每个节点都连接到每个其他节点（除了它自己），则连接数将为n*(n-1)/2

如何证明这一点？

这不是作业问题。我已经远离 CS 教科书很久了，忘记了如何证明这一点的理论。

【问题讨论】：

这个问题似乎跑题了，因为它是关于数学的。
4 票，操作员道歉，因为这似乎是一个家庭作业问题，然后有人说这是题外话，因为它是关于数学的。你一定很喜欢。

标签： algorithm graph graph-algorithm discrete-mathematics

【解决方案1】：

你有 n 个节点，每个节点都有 n -1 个连接（每个节点都连接到除自身之外的每个节点），所以我们得到n*(n-1)。但是，因为连接 (x,y) 和 (y,x) 是相同的（对于所有连接），我们最终得到 n*(n-1)/2。

【讨论】：

because connection (x,y) and (y,x) is the same (for all connections), we end up with n*(n-1)/2. 谢谢，对直觉的解释就像呼吸新鲜空气

【解决方案2】：

还有一个解决方案，组合：问题等价于图中可能的节点对数，即：

【讨论】：

【解决方案3】：

抱歉，命名不当，我是物理学家，不是 CS/数学专家。

每个节点（其中有n）都必须连接到其他节点。还有(n-1)“其他所有人”。

所以每个 n 节点都有n-1 连接出来。 n(n-1)

但由于每个连接都是“双向”(a to b = b to a)，因此您最终会得到1/2 的系数

所以n*(n-1)/2

【讨论】：

【解决方案4】：

归纳证明。基本情况 - 对于 2 个节点，有 1 个连接和 2 * 1 / 2 == 1。现在假设对于N 节点，我们有N * (N-1) / 2 连接。增加一个节点必须建立N额外的连接，并且：

N * (N-1) / 2 + N =
(N^2 - N + 2N) / 2 =
(N^2 + N) / 2 =
(N + 1) * N / 2

最后一行正好是N * (N - 1) / 2，将N替换为N+1，所以证明很好。

【讨论】：

【解决方案5】：

每个顶点的degree 是n-1（因为它有n-1 邻居）。
Handshaking lemma，说：Sigma(deg(v)) (for each node) = 2|E|。因此：

Sigma(deg(v)) (for each node) = 2|E|
Sigma(n-1) (for each node) = 2|E|
(n-1)*n = 2|E|
|E| = (n-1)*n /2

QED

【讨论】：

【解决方案6】：

对于 1 个节点：n 个连接

对于 2 个节点：n-1 个连接（已连接第一个节点）

对于 3 个节点：n-2 个连接 .. 对于 n 个节点：n-(n-1) 个连接

因此总连接数 = n + n-1 + n-2 + ........1

                        = n(n-1)/2 (sum of first n-1 natural numbers)

【讨论】：

【解决方案7】：

确定来自 N 个网络节点的最大链接数的最合适答案是......

链接需要 2 个节点的可能组合/连接的总数；所以：

(N!) / [(N-2)!)(2!)] = N(N-1)(N-2)! / (N-2)!(2!);

S o N(N-1) / 2

N>1 需要 2 个节点才能拥有一个链接。

【讨论】：

【解决方案8】：

晚了，不是证明，但您可以将节点“可视化”为坐标，将关系“可视化”为矩阵中的单元格，我不知道如何在这里绘制一些东西。

每个节点一列，每个节点一行，交叉处的单元格是关系。

您有 xx 个可能的单元格。但是您需要删除左上-右下对角单元格（节点可以链接到自身）。因此，您删除了 x 个单元格并且只有 (xx-x) = x*(x-1) 个剩余单元格。然后，单元格 (x,y) 与单元格 (y,x) 的链接相同，因此您可以删除剩余的一半单元格：x*(x-1)/2

【讨论】：

【解决方案9】：

另一个可能的等式，但不如上面的建议那么干净 ((n/2) - 0.5) * n

【讨论】：