证明在偶数 n = n/2 和奇数 n = n + 1 循环后任何 n 等于 1答案

【问题标题】：Proving that any n equals to 1 after looping even n = n/2 and odd n = n + 1证明在偶数 n = n/2 和奇数 n = n + 1 循环后任何 n 等于 1
【发布时间】：2015-02-17 00:15:25
【问题描述】：

假设我们有一个整数 n ≥ 1。在循环中，while n 大于 1。如果 n 是偶数，则 n = n / 2。如果 n 是奇数，则 n = n + 1。否则，算法将退出循环并返回“成功”。

我怎样才能从归纳中证明这个问题。我想使用归纳法来假设 k ≥ 1。但是，在归纳步骤中我不能假设的条件是什么？

【问题讨论】：

试试math.stackexchange.com
如果你真的想使用归纳法，你应该看看strong mathematical induction 标准让它为真 k，证明它是真的 k+1 在这里不起作用。（否则会很痛苦）
提示：在 2 次迭代之后，数字是否比开始时更远离 1？甚至相同的距离？如果有，什么时候？

标签： algorithm loops discrete-mathematics

【解决方案1】：

3 种情况下的拆分问题。

1) 如果 n = 1，我们就完成了。

2) 如果 n > 1 并且 n 是偶数。下一个数字将是 n / 2，如果 n 大于 1，它肯定小于 n。

3) 如果 n > 1 并且 n 是奇数。我们可以写成 n = 2 * k + 1。在下一次迭代之后，我们将得到 n = 2 * k + 2。在两次迭代之后，我们将得到 n = k + 1。我们知道 k + 1

对于案例 1) 我们已经完成，对于案例 2) 和 3) 我们将问题简化为更小的问题。

你可以从中锻炼感应。

如果需要，我可以编写完整的归纳。

【讨论】：