n + n-1 + n-2 + n-3 + (...) + 1 的大 O 复杂度答案

【问题标题】：Big-O complexity for n + n-1 + n-2 + n-3 + (...) + 1n + n-1 + n-2 + n-3 + (...) + 1 的大 O 复杂度
【发布时间】：2017-05-30 02:38:38
【问题描述】：

我想知道.. 以 n 个元素开头的算法的复杂性是什么（我通过做任何事情来运行）。我取下一个元素，我再做一次。我取下另一个元素，然后再做一次，直到我只剩下一个元素。是O（n log n）吗？我无法想象它......

【问题讨论】：

【解决方案1】：

据说著名的数学家Gauss 在他上小学的时候就已经找到了这个问题的公式。正如@Henry 在 cmets 中提到的那样：

由于每个条目都已完成工作，即每个“项目”都需要 O(1)。因此，问题在于 O(n^2)。

可视化（也称为Wikipedia）可以看作是一个半填充的正方形：

【讨论】：

很好的答案和可视化链接，真的很有帮助:)
n 平方只是为您提供最终答案的公式。这如何使其成为算法的时间复杂度。例如，如果将输入乘以 2（也就是将其缩放到两倍大小），最终结果是 n 平方的两倍。因此，随着您增加输入，最终结果会根据您增加输入的因素进行缩放。这不是线性的吗？
注意，以上链接来自 de.wikipedia.org。在 PC 上的 Chrome 中，您可以单击翻译按钮（在 Chrome 的 URL 右侧）以阅读英文页面。 我能找到的最近的英文维基百科条目：en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF 和 en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number
@Gamepad.Coder 对此表示感谢，我添加了您的第二个参考，因为我也没有找到德语 wiki 站点的翻译版本。
@adityah 常量与复杂度评估无关，即可以忽略按常量因子缩放，en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation

【解决方案2】：

为了解决O(n+n-1+n-2....n次)的复杂度，我们需要用see this link的数学公式求和

=> n+n+n...n times - (1+2+3...n times)
=> n^2- (n^2+n)/2

复杂性将是

(n^2-n)/2

【讨论】：

严格来说，不应该去掉常数，只留下显性项吗？因此，(n^2-n)/2 最终的复杂度为n^2 或O(n^2)。换句话说，说复杂度将是(n^2-n)/2 是不正确的。