求解递归 T(n) = 2T(n/2) + sqrt(n) [关闭]

Question

需要一点帮助！到目前为止，这是我使用向后替换的：

T(n) = 2T(n/2) + sqrt(n), where T(1) = 1, and n = 2^k
T(n) = 2[2T(n/4) + sqrt(n/2)] + sqrt(n) = 2^2T(n/4) + 2sqrt(n/2) + sqrt(n)
T(n) = 2^2[2T(n/8) + sqrt(n/4)] + 2sqrt(n/2) + sqrt(n)
     = 2^3T(n/8) + 2^2sqrt(n/4) + 2sqrt(n/2) + sqrt(n)

一般

T(n) = 2^kT(1) + 2^(k-1) x sqrt(2^1) + 2^(k-2) x sqrt(2^2) + ... + 2^1 x sqrt(2^(k-1)) + sqrt(2^k)

到目前为止是正确的吗？如果是的话，我不知道如何简化它并将其简化为一个通用公式。

我猜是这样的？结合术语

= 1 + 2^(k-(1/2)) + 2^(k-(2/2)) + 2^(k-(3/2)) + ... + 2^((k-1)/2) + 2^(k/2)

这就是我卡住的地方。也许是一种分解 2^k 的方法？ 任何帮助都会很棒，谢谢！

Answer 1

你已经成功了一半。 表达式可以简化为：

Answer 2

如果您只想要一个大 O 解决方案，那么 Master Theorem 就可以了。

如果您想要一个精确的方程式，recursion tree 很好。像这样：

右侧是每个级别的成本，很容易找到成本的一般形式，即sqrt((2^h) * n)。然后，总结一下你可以得到 T(n) 的成本。

1. 根据Master Theorem，是case 1，所以O(n)。
2. 根据递归树，确切的形式应该是sqrt(n)*(sqrt(2n)-1)*(sqrt(2)+1)，对应于大O符号。

编辑：

递归树只是所谓的backward substitution 的可视化形式。如果你总结右手边，即cost，你可以得到T(n)的广义形式。所有这些方法都可以在introduction to algorithm中找到