用递归求解递归关系 T(n) = 2T(n/2)+1

Question

我正在寻找T(n) = 2T(n/2) + 1 的大O。我发现 Master Theorem 是 O(n)，但我正在尝试通过递归解决它并陷入困境。

我的解决过程是

T(n) = 2T(n/2) + 1 <= c * n
(we know that T(n/2) <= c * n/2) 
2T(n/2) + 1 <= 2 * c * n/2 +1 <= c * n
Now I get that 1 <= 0.
I thought about saying that 
T(n/2) <= c/2 * n/2 

但是这样做是否正确？我不知道我以前是否看过它，所以我很困惑。

Answer 1

我不确定您所说的“用递归解决它”是什么意思。您可以做的是展开方程式。

首先您可以将n 视为2 的幂：n = 2^k。
然后你可以将你的递归方程改写为T(2^k) = 2T(2^(k-1)) + 1。

现在很容易展开：

T(2^k) = 2 T(2^(k-1)) + 1
       = 2 (T(2^(k-2) + 1) + 1
       = 2 (2 (T(2^(k-3) + 1) + 1) + 1
       = 2 (2 (2 (T(2^(k-4) + 1) + 1) + 1) + 1
       = ... 

这会下降到k = 0 并达到基本情况T(1) = a。在大多数情况下，人们使用a = 0 或a = 1 进行练习，但它可以是任何东西。

如果我们现在去掉括号，等式如下所示：

T(n) = 2^k * a + 2^k + 2^(k-1) + 2^(k-2) + ... + 2^1 + 2^0

从一开始我们就知道2^k = n 并且我们知道 2^k + ... + 2 + 1 = 2^(k+1) -1。将此视为仅由 1 组成的二进制数，例如111 = 1000 - 1.

所以这简化为

T(n) = 2^k * a + 2^(k+1) - 1 
     = 2^k * a + 2 * 2^k - 1 
     = n * a + 2 * n - 1 
     = n * (2 + a) - 1

现在只要a 是一个常数，就可以看到T(n) 在O(n) 中。