求解递归 T(n) = 2T(sqrt(n))答案

【问题标题】：Solving the recurrence T(n) = 2T(sqrt(n))求解递归 T(n) = 2T(sqrt(n))
【发布时间】：2013-08-08 12:45:27
【问题描述】：

我想解决以下递归关系：

T(n) = 2T(√n);

我猜是T(n) = O(log log n)，但我不确定如何证明这一点。我将如何证明这种重复解决了O(log log n)？

【问题讨论】：

@AaronMcDaid 这将是“应用于数字 n 的一个参数的函数 T”。没有特殊的“T 表示法”。
@n.m.，我不记得曾经参加过这个帖子。你为什么在这个问题中给我发消息？你打错字了？
@AaronMcDaid 您或与您的用户名相似的人提出了一个问题，询问“T(n) 表示法”。它现在被删除了。可能有错字（我确实是手动输入了昵称），但不太可能，而且一开始有多少类似的用户名？
@AaronMcDaid 它现在在 Google 缓存中 webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:http://… 但我不知道多久。
@AaronMcDaid 哇，显然该线程已有两年历史了。刚刚有人复活了。如果您当时删除了评论，您可能会忘记它；但那我今天怎么能看到呢？这是矩阵中的故障...

标签： algorithm math big-o recurrence

【解决方案1】：

一个想法是通过引入一个新变量 k 来简化递归，使得 2^k = n。然后，递归关系解决了

T(2^k) = 2T(2^k/2)

如果你让 S(k) = T(2^k)，你得到递归

S(k) = 2S(k / 2)

注意这等价于

S(k) = 2S(k / 2) + O(1)

因为 0 = O(1)。因此，根据主定理，我们得到 S(k) = Θ(k)，因为我们有 a = 2、b = 2、d = 0 和 log_b a > d。

由于 S(k) = Θ(k) 和 S(k) = T(2^k) = T(n)，我们得到 T(n) = Θ(k)。由于我们选择了 2^k = n，这意味着 k = log n，所以 T(n) = Θ(log n)。这意味着您对 O(log log n) 的初始猜测是不正确的，并且运行时只是对数，而不是双对数。但是，如果只进行一次递归调用，那么运行时将是 O(log log n) 是对的。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

为什么 S(k) = T(2^k)？域不重合，不应该是S(k') = T(2^k)吗？
您能详细说明一下您对域名不一致的含义吗？我不明白你在问什么。
我的意思是你怎么能用 S(k) 代替 T(2^k)？如果我们将它们视为 k 和 2^k 的函数，则 T 的域是 1,2,4,8,... 而 S 是 1,2,3,4,...
@Ritwik 你说的完全正确，一般来说，你不能进行这样的替换。您遇到的大多数重复都有一个很好的属性，即它们是单调递增的。如果递归是单调递增的，并且您可以在各个不错的点（2 的幂、3 的幂等）为其值提供一个界限，那么您可以渐近地限制整个递归。这就是我们在这里所做的。这是一个常见的技巧，你通常不会看到任何人写出“它是单调的”作为理由，但值得看看为什么这是真的。
@dev 我们想要选择一个满足 S(x) = T(2^(k/2)) 的 x。由于 S(x) = T(2^x)，这意味着我们要选择 S(k / 2) = T(2^(k/2))。如果我们选择 S(sqrt k)，我们会得到 T(2^(sqrt k))，这与我们需要的不匹配。

【解决方案2】：

您可以通过展开递归轻松解决此问题：

现在循环将在T(1) = a 时结束，您可以找到合适的a。当a = 0 或1 没有意义但是当a=2 你会得到：

将k 代入第一个等式的最新部分，您将得到O(log(n)) 的复杂度。

在此处查看其他类似的递归：

【讨论】：

感谢您如此清晰的回答。