【问题标题】：O(m+n) algorithm to check if a directed graph is unilaterally connectedO(m+n) 算法来检查一个有向图是否是单边连接的
【发布时间】：2020-10-13 00:53:42
【问题描述】：

给定一个有向图 G=(V,E) 我如何检查它是否是单边连接的，即对于任意两对顶点 a 和 b，至少满足以下条件之一：

有一条从 a 到 b 的路径。
有一条从 b 到 a 的路径。

【问题讨论】：

这能回答你的问题吗？ Determining if a directed graph is unilateral

标签： algorithm data-structures graph graph-theory graph-algorithm

【解决方案1】：

找到强连通分量，比如Tarjan's algorithm。 SCC 中的每个节点都可以从任何其他节点到达，因此它们在可以到达和被哪些节点到达方面是等价的。将每个 SCC 折叠成一个顶点，如果原始图是单边的，则生成的 DAG 将是单边的。

如果 DAG 是全序的，即只有一个拓扑序，则 DAG 是单边的。如果有从 A 到 B 的路径，那么 A 必须在 B 之前。如果有从 B 到 A 的路径，那么 B 必须在 A 之前。你不会同时拥有两者，因为图现在是无环的。如果 A 和 B 之间没有路径，则它们是无序的，并且图至少有 2 个拓扑顺序 - 一个是 A 在 B 之前，一个是 B 在 A 之前。

检查总顺序的一种快速方法是使用卡恩算法执行topological sort，并检查以确保在每次迭代中下一个顶点只有一个选择。

Tarjan 用于查找 SCC、折叠 SCC 的算法，以及用于拓扑排序的 Kahn 算法，都在 O(V+E) 时间内运行。

【讨论】：

【解决方案2】：

想法

这个想法是使用SCC（强连接组件）和顶级排序。这是一个伪算法：

首先找到原始 Graph 的 SCC。在您的每个 SCC 中，都有一条从一个顶点到另一个顶点的路径。
将新找到的 SCC 图压缩为新图。想法是将属于 SCC 1 的所有节点视为新图的节点 1，依此类推
现在，我们需要运行 DFS 来检查是否只有一个连接的组件。但是我们不能只从任何节点运行 DFS，因为这是一个有向图。我们使用顶级排序来查找拓扑顺序，然后运行 DFS 来检查是否只有一个组件。如果有多个，则图形不是单边的。

角落案例

如果最初的原始图是森林（又名断开连接），则它不是单边的。

复杂性

查找 SCCs 需要 2 个 DFS 。顶级排序也需要 1 DFS .
所以，时间复杂度是你想要的O(V+E)

对此我没有任何正式的证据。但这应该可行。如果您有任何困惑，请告诉我。

【讨论】：

考虑从子顶点 A 到子顶点 B 的有向边，其中 A、B 表示压缩步骤后的强连通分量。因此，子顶点 B 内的任何节点都应该可以被 A 的子顶点内的任何节点访问，但反之则不行。该图看起来像：A -> B，所以这里的 SCC 为 0。算法给出的不是单边的。我错过了什么吗？
你是对的，我完全忘记了其中一个条件必须为真，而不是两者都为真。我进行了编辑
A->B, A->C, B->D, C->D 有一个连通分量并且不是森林，但也不是单边的，因为从 B 到没有路径C 或反之亦然。 “我没有证据，但它应该可以工作”通常是行不通的。