检查一个图是否是单连接的

Question

我将“算法简介”CLRS 第 3 版第 22 章练习 22.3-13 中的单连通图定义称为 A directed graph G = (V,E) is singly connected if G contains at most one simple path from u to v for all vertices u, v belongs to V。我注意到图中的循环并不一定意味着该图不是单独连接的，因为涉及循环的路径不被视为简单路径。有向图中的一个简单循环可以由一组对应的边唯一地表示。让我们考虑一个满足以下两个属性的有向图：
(1) 它在其 DFS 森林中只有树和后边缘，并且 (2) 表示图中每个简单循环的所有集合都是不相交的（即它们不共享任何边）。 现在我的问题是：满足上述两个条件的每个有向图是否都必须是单连通图？还是仅条件 1 就足以使图形单连接？我找不到任何反例

Answer 1

我找到了一个反例。假设这个有向图 G 有 5 个节点 (0, 1, 2, 3, 4) 和 6 条边 (0,1), (1,2), (2,0), (2,3), (3,4 ), (4,0)。如果我们在集合 (3, 4) 中的任何节点处启动 DFS，我们将只有树和后边。显然，它满足条件 1 但不满足条件 2，并且它不是单连通图，因为从节点 1 到 0 有两条简单路径（ 1->2->3->4->0 和 1->2->0 ） .令人惊讶的是，如果我们从任何其他节点（即从 0、1、2）启动 DFS，其 DFS 森林将包含至少一个前向边缘。可以看出，该图中表示简单循环的边集是 {(0,1), (1,2), (2,0)} 和 {(0,1), (1,2), (2 ,3), (3,4), (4,0)} 共享边 (0,1) 和 (1,2)。通过从两个集合之间共有的边中的任何节点（即从 0、1、2）中选择初始节点获得的 DFS 森林产生至少一个前向边，而通过从任何剩余节点中选择初始节点（即从 3 , 4) 在他们的 DFS 森林中只产生树和后向边缘。证明有向图单连通，条件1是不充分的。