算法 O(n + m) 时间是什么时候？答案

【问题标题】：When is an algorithm O(n + m) time?算法 O(n + m) 时间是什么时候？
【发布时间】：2017-08-08 00:56:04
【问题描述】：

我正在解决黑客等级的this problem。我解决问题的算法是：

获取所有玩家得分的数组。遍历所有玩家得分并创建一个新数组。让一共有n个玩家。
其中不包含任何重复的玩家分数。让我们称新数组，playerScores。

设 Alice 要玩的总关卡为 m。

让爱丽丝第一轮后的得分为S。

让 Alice 的初始等级 R 为 0。

从后端开始迭代 playerScores 数组，直到得到分数小于 S 的玩家分数。

将 R 设置为在步骤 5 中找到的玩家的排名。

将 m 减 1。

打印 R.

现在开始在循环内处理 Alice 在所有后续 m-1 级别中的分数

将 S 设置为 Alice 的下一级分数。

从排名为 R-1 的玩家开始向前端迭代 playerScores 数组。

继续迭代，直到得到一个分数小于 S 的玩家。

将 R 设置为在上述步骤中找到的玩家的排名。

将 m 减 1。

打印 R.

如果还有更多关卡要玩（即 m>0），请转到步骤 9.1。

现在当我开始计算上述算法的大 O 时间复杂度时，我意识到它应该是 O(n)，如下所示：

需要一次扫描才能获得不重复的分数。这有助于因子 n。可能所有分数都是唯一的。
需要再次从尾到前扫描以确定 Alice 在每个级别之后的排名。这再次有助于因子 n。在最坏的情况下，关卡数 (m) 可能等于玩家数 (n)。

将以上两个因素相加，时间复杂度为 O(n + n) = O(2n) = O(n)。虽然我的朋友声称它是 O(n + m)，但他无法解释清楚。如果我的 O(n+n) 复杂度公式有缺陷，谁能帮我理解？

【问题讨论】：

什么是“n”？什么是“米”？
9.2 是9 内部的一个嵌套循环，所以它不会是其中任何一个。除此之外，一些伪代码项还不够清楚，无法确定它们的复杂性。
请注意，图上的算法（带有n 顶点和m = O(n^2) 边）通常以n 和m 而不仅仅是n 来指定它们的运行时间。这抓住了算法的运行时间取决于图的密度的想法。这通常是由于需要迭代图的边缘；显然更少的边会导致更快的迭代时间。
@GordonLinoff n 是游戏中的玩家数量。这是作为输入。我将所有玩家的分数存储在一个长度为 n 的数组中。
@GordonLinoff 我更新了我的算法步骤，现在可以正确展示n 和m。

标签： algorithm time-complexity big-o asymptotic-complexity

【解决方案1】：

O(n+m) 与O(n+n) 或O(n) 不同，当您不知道m 和n 之间的关系时。有时n 可能比m 大，有时m 可能更大，但没有明确的方法可以判断。但是，如果无论如何你总是知道n>=m，那么你可以说O(n+m) 实际上就是O(n)。在这种情况下，同样的规则适用。

【讨论】：

好的。知道了。在我的例子中，n 和 m 之间的关系没有定义，尽管它们的范围是。对于n，它是-1 <= n <= 2*10^5，对于m，它是-1 <= m <= 2*10^5。所以m 可以小于或等于n。凉爽的。所以我对O(n) 效率的表述是不正确的。根据您的类比，它确实是O(n+m)。感谢您的解释。
我之前的评论中只有一处更正。由于m 和n 之间的关系不是确定的，所以m 可以小于、greater than 或等于n。我在之前的评论中错过了greater than 部分。

【解决方案2】：

我能够从相关人员那里获取回复。引用 Ryan Fehr：

对于这个问题，O(n+n)和O(n+m)本质上是一回事，因为它们都有相同的上限。我决定去 O(n+m) 表示，因为它确保很明显我的解决方案取决于 Alice beat 的级别数在这种情况下用 m 表示。

这种区分很重要的一个例子是，当我们有一个 n 的值较小，例如 10，m 的值较大，例如 10^5。在这个在这种情况下，对 m 的依赖对复杂性非常重要问题。这也是将其表示为 O(n +m) 的问题，因为如果在这种情况下 m 很小而 n 很大，那么我们将再次看到我提供的对问题复杂性的错误陈述符号。

不过，Big-O 表示法的好处在于它代表了最坏的情况，所以 O(n+n) 的最坏情况与 O(n+m) 相同因此它们是相当等价的。此时它只是一个关于如何表示依赖的偏好问题 m 作为输入变量（如果你有这样的依赖）。

当然，如果您不依赖 m 作为输入，那么我认为 O(n+n) => O(n) 是更好的表示问题然后我给了。

【讨论】：