具有恰好 k 个蓝色边的所有顶点对的最小权重最短路径答案

【问题标题】：minimum weight shortest path for all pairs of vertices with exactly k blue edges具有恰好 k 个蓝色边的所有顶点对的最小权重最短路径
【发布时间】：2015-03-06 06:56:31
【问题描述】：

图的一个子集基本上是蓝色的

所以我知道如何在 O(n^3) 中找到所有具有 DP 的最短路径对，但我如何考虑颜色和问题所需边数的准确性？

【问题讨论】：

不确定，但您需要的复杂性可能高于 n^3，因为约束“恰好 k”

标签： graph-algorithm

【解决方案1】：

这可以使用 Floydd-Warshall 的变体在 O(k^2 . n^3) 内完成。

您不必跟踪两个节点 i 和 j 之间的最小路径权重 d(i,j)，而是跟踪i 和 j 之间的路径的最小路径权重 d(i,j,r) 恰好 r 蓝色边，对于 0 ≤ r ≤ k。

检查通过节点 m 的路径时的更新步骤，其中通常 d(i,j) 将使用 d(i, m) 和 d(m,j) 如果更小，则变为：

for u: 0 .. k
    for v: 0 .. (k-u)
        s = d(i,m,u) + d(m,j,v)
        d(i,j,u+v) = min( s, d(i,j,u+v) )

最后，你读出d(i,j,k)。

【讨论】：

眯着眼睛看，更新步骤看起来确实有点类似于离散卷积（最小而不是求和，加法而不是乘法）。相应地，向量 (d(i,j,0),...,d(i,j,k)) 可能会有一个奇特的变换，它允许在 O( k 记录 k) 而不是 O(_k_^2)。我会考虑更多！
好吧。一点阅读表明更新步骤是'(min,+)-convolution'（或只是'min-convolution'）的一个例子，当前最好的算法是O(k^2 / log k)。跨度>