证明存在一个顶点的最小生成树总是包含该顶点的最短边答案

【问题标题】：Show that there exists a minimum spanning tree from a vertex always containing the shortest edge from that vertex证明存在一个顶点的最小生成树总是包含该顶点的最短边
【发布时间】：2019-12-01 10:35:56
【问题描述】：

假设 e 是加权图中的一条边，它与顶点 v 相连，使得 e 的权重不超过与 v 相连的任何其他边的权重。证明存在包含这条边的最小生成树.

【问题讨论】：

询问家庭作业时 (1) 请注意您的学校政策：在这里寻求帮助可能构成作弊。 (2) 指定问题是家庭作业。 (3) 真诚地尝试自己先解决问题（在问题中包含您的代码）。 (4) 询问您现有实施的具体问题； Minimal, complete, verifiable example

标签： graph minimum-spanning-tree spanning-tree weighted-graph

【解决方案1】：

矛盾证明

假设存在一个顶点 v 使得 MST 不使用其最小权重边 e 而是使用另一个入射边，我们称其为 x。现在，假设我们将边 e 添加回 MST，从而形成一个循环。我们现在可以删除该循环中使用的前一个边 x。此时，我们有另一个 MST，其总成本低于之前找到的生成树。这是一个矛盾，因为如果边缘为 x 的生成树的成本高于边缘为 e 的生成树，那么它实际上并不是 MST。

【讨论】：