树的最小权重顶点覆盖答案

【问题标题】：minimum weight vertex cover of a tree树的最小权重顶点覆盖
【发布时间】：2015-02-15 11:23:30
【问题描述】：

有一个existing question 处理树，其中顶点的权重是它的度数，但我对顶点可以具有任意权重的情况感兴趣。

这不是家庭作业，但它是我目前正在阅读的算法设计手册中的问题之一；答案集给出了解决方案

执行 DFS，在每一步更新 Score[v][include]，其中 v 是顶点，include 为真或假；
如果 v 是叶子，则设置 Score[v][false] = 0，Score[v][true] = w_v，其中 w_v 是顶点v的权重。
在 DFS 期间，从节点 v 的最后一个子节点向上移动时，更新 Score[v][include]： Score[v][false] = Score[c][true] 和 Score[v][true] 中 c 的总和 (v) = w_v + 孩子中 c 的总和 (v ) 的 min(Score[c][true];Score[c][false])
通过回溯 Score 提取实际封面。

但是，我实际上无法将其转化为有效的东西。（回应评论：到目前为止，我尝试的是绘制一些带有权重的小图并在纸上运行算法，直到第四步，其中“提取实际封面”部分不透明。）

作为回应阿里的回答：所以假设我有这个图，由A 等给出的顶点以及后面的括号中的权重：

A(9)---B(3)---C(2) \ \ E(1) D(4)

正确答案显然是{B,E}。

通过这个算法，我们会像这样设置值：

score[D][false] = 0; score[D][true] = 4
score[C][false] = 0; score[C][true] = 2
score[B][false] = 6; score[B][true] = 3
score[E][false] = 0; score[E][true] = 1
score[A][false] = 4; score[A][true] = 12

好的，所以，我的问题基本上是，现在什么？做简单的事情并遍历score 向量并确定本地最便宜的东西是行不通的；你最终只会包括B。基于父代决定交替也行不通：考虑E的权重为1000的情况；现在正确答案是{A,B}，它们是相邻的。也许这不应该令人困惑，但坦率地说，我很困惑。

【问题讨论】：

展示您迄今为止尝试过的内容，或就您不理解的算法部分提出具体问题。

标签： algorithm graph tree dynamic-programming vertex-cover

【解决方案1】：

这实际上并不意味着任何令人困惑的事情，它只是Dynamic Programming，您似乎几乎了解所有算法。如果我要说得更清楚，我不得不说：

首先在您的图表上执行 DFS 并找到叶子。
为每个叶子分配值，如算法所述。
现在从叶子开始，并通过该公式为每个叶子父级分配值。
开始为已经有值的节点的父节点分配值，直到到达图的根节点。

就是这样，通过在您的算法中回溯，这意味着您将值分配给其子节点已经具有值的每个节点。正如我上面所说，这种求解问题称为动态规划。

编辑只是为了解释您对问题的更改。正如你有下面的图表，答案显然是 B，E 但你虽然这个算法只给你 B 而你是不正确的，这个算法给你 B 和 E。

A(9)---B(3)---C(2) \ \ E(1) D(4)

score[D][false] = 0; score[D][true] = 4
score[C][false] = 0; score[C][true] = 2
score[B][false] = 6 this means we use C and D; score[B][true] = 3 this means we use B
score[E][false] = 0; score[E][true] = 1
score[A][false] = 4 This means we use B and E; score[A][true] = 12 this means we use B and A.

并且您选择了 4，因此您必须使用 B 和 E。如果只是 B，您的答案将是 3。但是当您正确找到时，您的答案是 4 = 3 + 1 = B + E。

当 E = 1000 时

A(9)---B(3)---C(2) \ \ E(1000) D(4)

答案是 B 和 A 是 100% 正确的，因为仅仅因为您不想选择相邻节点而使用 E 是错误的。使用此算法，您会发现答案是 A 和 B，只需检查一下，您也可以找到答案。假设这包括：

C D A = 15
C D E = 1006
A B = 12

虽然前两个答案没有相邻节点，但它们比最后一个有相邻节点的答案大。所以最好用A和B做掩护。

【讨论】：

请看更新——当我困惑的恰恰是回溯部分时，说“这不是令人困惑，只是回溯”是没有帮助的。
@johns 我说这并不令人困惑，但我向您解释了，正如我所说，回溯只是意味着您找到父母对其孩子的分数，而且我并没有真正改变我的回答问题的变化，但现在检查我的答案。

【解决方案2】：

没有完成（或不需要）实际的回溯。该解决方案使用动态编程来避免回溯，因为这需要指数级的时间。我的猜测是“回溯分数”意味着分数包含您通过回溯获得的部分结果。

树的覆盖顶点允许包含交替和相邻的顶点。它不允许排除两个相邻的顶点，因为它必须包含所有的边。

以递归计算分数的方式给出答案。不包括顶点的成本是包括其子节点的成本。但是，包含顶点的成本是成本较低的成本，包括其子节点或不包括它们的成本，因为这两种情况都是允许的。

正如您的解决方案所建议的那样，可以使用 DFS 在后序中一次性完成。诀窍是如果分数表示必须包含一个顶点，则包含它的子节点，如果必须排除它，则包含它的子节点，否则我们将排除两个相邻的顶点。

这是一些伪代码：

find_cover_vertex_of_minimum_weight(v)
  find_cover_vertex_of_minimum_weight(left children of v)
  find_cover_vertex_of_minimum_weight(right children of v)
  Score[v][false] = Sum for c in children(v) of Score[c][true]
  Score[v][true] = v weight + Sum for c in children(v) of min(Score[c][true]; Score[c][false])
  if Score[v][true] < Score[v][false] then
    add v to cover vertex tree
  else
    for c in children(v)
      add c to cover vertex tree

【讨论】：