给定一个点和大量的四面体，如何高效判断该点在哪个四面体中

Question

假设我们将一个点定义为一个元组 三个浮点数组成，四面体由四个点组成。

假设我们有一个四面体和一个点，我们可以确定是否 点属于下面描述的解决方案的四面体 How to check whether the point is in the tetrahedron or not? 这里的关键思想是确定该点是否在四面体四个侧面的内侧。

我的问题。给定一个点和 N 个四面体，其中 N 约为 700 万，我需要确定该点在哪个四面体中。我们会关心重复测试的表现，有大量的分数。

附加信息：

1. 可以使用上述方法一一检查这些四面体。但考虑到我有大量的四面体，这可能太慢了。

2. 问题设置中有一个特定的点。这些四面体是 从 FEM（有限元法）问题中获得，用于求解 医学成像问题（它们构成了患者的大脑）。也许 FEM 本身与这个问题无关，但我们可以利用这些四面体彼此相邻并且在这些四面体模拟的空间中没有“洞”这一事实。

3. 除了相邻的边界外，四面体没有交点。所以，这个问题应该有一个唯一的解决方案，除非在边界处，在这种情况下，可以让任何一个相交的四面体来解决我的问题。

4. 四面体的输入没有特定的顺序。四面体的形状是否规则并没有规定。

关于有效解决问题的任何想法？解决这个问题首选 Python。

谢谢！

Answer 1

您可以首先过滤四面体，只保留边界长方体（与 X、Y 和 Z 轴平行）包含 p 的那些。这样测试起来更快：

所以找到四面体 -- 有点 t₀、t₁、t₂ 和 t₃——关于点p具有以下属性：

• ∃ i,j: t_i^x ≤ p^x ≤ t_j^x
• ∃ i,j: t_i^y ≤ p^y ≤ t_j^y
• ∃ i,j: t_i^z ≤ p^z ≤ t_j^z

平均而言，这只会留下几个四面体（通常只有一两个），然后您可以使用这些四面体来应用四面体中的点测试。

Answer 2

如果您打算针对同一组四面体测试很多点，我肯定会进行预处理步骤并为四面体构建空间结构。

在我的评论中我提到了八叉树，但是知道四面体填充空间（没有孔）我认为没有必要对空间进行自适应细分，最好将其分成相等的部分。

1. 将空间分成相等的盒子（让我们将它们命名为SpaceBoxes）。
2. 在每个SpaceBox 中，保留与框碰撞的四面体列表。

• 为了加快速度，我会测试四面体的边界框，而不是四面体本身。
• 请注意，这一步可以相对便宜地完成 - 您知道 SpaceBox 的大小相等，您知道它们的位置，因此给定四面体的边界框，很容易找到 SpaceBox 候选者。

现在，有了这个空间结构：

待测点p

• 找到对应的SpaceBox O(1)
• 您有所有与SpaceBox 碰撞的四面体，因此这些是要测试的候选对象
• p 与每个四面体的边界框的第一次碰撞测试
• 只有这样，与四面体本身

请注意，测试的性能主要取决于每个 SpaceBox 中四面体的数量。

假设一个空间是一个立方体：

• 将每条边细分为 16 个部分，得到 16^3 = 4096 个空格框
• N = 7000000，应该有大约 1709 个候选四面体要测试

此外，在实现方面，预处理和测试多点看起来都像数据并行问题，因此多处理可能会有所帮助。