给定其他三个，如何计算四面体的第四个顶点？

【问题标题】：How do I calculate the fourth vertex of a tetrahedron given the other three?给定其他三个，如何计算四面体的第四个顶点？
【发布时间】：2020-09-17 19:07:30
【问题描述】：

我想计算正四面体的第四个顶点。我有坐标

{0, 0, Sqrt[2/3] - 1/(2 Sqrt[6])}, {-(1/(2 Sqrt[3])), -(1/2), -(1 /(2 Sqrt[6]))} 和 {-(1/(2 Sqrt[3])), 1/2, -(1/(2 Sqrt[6]))}

有人可以帮忙吗？

【问题讨论】：

这个问题太具体了，除了你之外，它不可能帮助任何人。最好只是更一般地问，“在给定其他三个的情况下，我如何计算四面体的第四个顶点？”

标签： geometry polyhedra tetrahedra

【解决方案1】：

找到脸的中心

cx = (x1 + x2 + x3)/3 and similar for y,z

获取两个边向量

e2x = x2 - x1
e2y = y2 - y1
e2z = z2 - z1
e3x = x3 - x1
e3y = y3 - y1
e3z = z3 - z1

计算边缘长度

elen = sqrt(e2x*e2x+e2y*e2y+e2z*e2z)

计算向量积以得到这张脸的法线

nx = e2y*e3z - e2z*e3y 
ny = e2z*e3x - e2x*e3z 
nz = e2x*e3y - e2y*e3x

使单位正常

nlen = sqrt(nx*nx+ny*ny+nz*nz)
nx = nx / nlen
...

制作所需长度的法线（四面体高度）

lnx = nx * sqrt(2/3) * elen
...

将此法线添加到面部中心

x4 = cx +/- lnx
y4 = cy +/- lny
z4 = cz +/- lnz

+/-符号对应第四个顶点的两个可能位置

【讨论】：