IEEE-754 双精度浮点数可以表示多少个可被 2 整除的整数？答案

【问题标题】：How many integers divisible by 2 can be represented in IEEE-754 floating point with double precision?IEEE-754 双精度浮点数可以表示多少个可被 2 整除的整数？
【发布时间】：2014-09-12 07:07:47
【问题描述】：

IEEE-754 双精度浮点数可以（可以）表示多少个可被 2 整除的正整数？

【问题讨论】：

52 表示双精度
没关系，当我遇到这个stackoverflow.com/questions/1848700/… 时，我只是脱掉袜子以计算更高一点，这使您的问题几乎重复，因此值得接近。
因为它几乎是重复的，你能真正回答这个问题或在评论中给我一些提示吗？
@HighPerformanceMark 在尝试回答这个问题时，我发现它不是“所有整数都可以表示的较大界限”问题或您的问题的（接近）重复项，尽管它看起来有点像。

标签： floating-point ieee-754

【解决方案1】：

-2⁵⁴ 和 2⁵⁴ 之间的所有偶数都可以表示为 IEEE 754 双精度数。所有大小大于 2⁵⁴ 的有限双精度数也恰好是应该计算的偶数。我们分别计算这两类数字，然后相加。

第一类代表所有数字 -(2⁵⁴-2), -(2⁵⁴-4), ..., -2, 0, 2, 4 , ..., (2⁵⁴-2).

第二类表示2⁵⁴+4、2⁵⁴+8等数字，以及2^{1023等非常大的双精度数}。这些数字是代表偶数整数的 IEEE 754 双精度数字，因此应将它们考虑在内。此类别中的数字必须单独计算的原因是，在此范围内，并非所有偶数都可以表示为双精度 IEEE 754 数字（例如，2⁵⁴+2, 254+6，2¹⁰²³+1024是可表示的）。

第一类数字包含2 * 2⁵³ - 1个项目，从-(2⁵⁴-2)到2⁵⁴- 2.

第二个类别表示2 * (1024 - 54) binades（因素二是因为负binades和正binades都被计算在内），即2 * (1024 - 54) * 2⁵² 项。

这使得双精度偶数整数总数约为 8754997675608244224（在计算中给出或取一个误差）。

【讨论】：

有一个 53 位尾数。如果 2^52 = 2^53，尾数的最后一位的值为 2^k，k >= 1，所以 x 是偶数。所有 >= 2^53 的双精度浮点数都是偶数。
@PascalCuoq：我相信你想要2 * (1024 - 54) * 2^52 来计算[2^54, 2^1024) 中具有绝对值的值。我同意2 * 2^53 - 1 对绝对值严格小于2^54 的偶数的计数。
为什么区间[2^{54}...2^{54}]中的每个数字都是可表示的？为什么2^{54}+2 不可表示？