我们正在寻找一种算法来在 O(N) 内解决这个问题。
给定两个实数 a 和 b（不失一般性，您可以假设它们都在 0 和 1 之间） 求一个介于 -N 和 N 之间的整数 n，使表达式最小化：
|a n - b - 圆形(a n - b)|
我们认为欧几里得算法可能适用于此，但无法弄清楚。看起来应该有比通过对整数 n 进行详尽搜索更快的方法来做到这一点。
注意：在我们的情况下，a 和 b 可能会经常变化，因此可以将 a 和 b 固定为查找表，因为 N 也可以变化，所以它有点难看。尚未详细查看查找表，看看我们可以将它作为 N 的函数得到多小。
【问题讨论】：
标签： algorithm minimum number-theory
听起来您可能正在寻找类似continued fractions...
它们有什么关系？假设你可以用有理数 b1/b2 代替 b。现在您正在寻找整数 n 和 m，使得 an-b1/b2 大约为 m。换句话说，你正在寻找 n 和 m 使得 (m+(b1/b2))/n = (mb2+b1)/nb1，一个有理数，大约是 a。设置 a1 = mb2+b1 和 a2 = nb1。从连分式逼近中找出 a1 和 a2 的值并求解 n 和 m。
另一种方法可能是这样的：
我不太确定它是否会起作用。 a 所需的精度取决于 n 和 b。
【讨论】：
您正在有效地搜索使表达式aN - b 尽可能接近整数的整数N。 a 和 b 是固定的吗？如果是，您可以预先计算一个查找表并拥有 O(1) :-)
如果不考虑寻找使所有整数I 的aN 接近I + b 的N。
【讨论】：
a 和 b 是精度有限的实数还是浮点整数？
您可以计算比率 a/b 的连分数。当分母大于N，或者当您的近似值足够好时，您可以停止。
// Initialize:
double ratio = a / b;
int ak = (int)(ratio);
double remainder = ratio - ak;
int n0 = 1;
int d0 = 0;
int n1 = ak;
int d1 = 1;
do {
ratio = 1 / remainder;
ak = (int)ratio;
int n2 = ak * n1 + n0;
int d2 = ak * d1 + d0;
n0 = n1;
d0 = d1;
n1 = n2;
d1 = d2;
remainder = ratio - ak;
} while (d1 < N);
您要查找的n 的值是d0（或d1，如果它仍然小于N）。
这不一定给你最小的解决方案，但它可能是一个非常好的近似值。
【讨论】：
首先，让我们考虑一个更简单的情况，其中 b=0 且 0
令 step_size = 1
Step 1. Let v=a
Step 2. Let period size p = upper_round( 1/v ).
Step 3. Now, for n=1..p, there must be a number i such that F(v,i) < v.
Step 4. v = F(v,i), step_size = stepsize * i
Step 5. Go to step 2
如您所见，您可以将 F(v, *) 降低到您想要的任何级别。最终解 n = step_size。
【讨论】：