求解线性丢番图方程的算法是什么：ax + by = c

Question

我在这里寻找整数解决方案。我知道它有无数个从第一对解和 gcd(a,b)|c 派生的解。但是，我们怎样才能找到第一对解决方案呢？有没有什么算法可以解决这个问题？

谢谢，
陈

Answer 1

请注意，并不总是有解决方案。事实上，只有c 是gcd(a, b) 的倍数才有解决方案。

也就是说，您可以为此使用extended euclidean algorithm。

这是一个实现它的 C++ 函数，假设为 c = gcd(a, b)。我更喜欢使用递归算法：

function extended_gcd(a, b)
    if a mod b = 0
        return {0, 1}
    else
        {x, y} := extended_gcd(b, a mod b)
        return {y, x-(y*(a div b))}

int ExtendedGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (a % b == 0)
    {
        x = 0;
        y = 1;
        return b;
    }

    int newx, newy;
    int ret = ExtendedGcd(b, a % b, newx, newy);

    x = newy;
    y = newx - newy * (a / b);
    return ret;
}

现在，如果您有 c = k*gcd(a, b) 和 k > 0，则等式变为：

ax + by = k*gcd(a, b) (1)
(a / k)x + (b / k)y = gcd(a, b) (2)

因此，只需找到 (2) 的解决方案，或者找到 (1) 的解决方案，然后将 x 和 y 乘以 k。