空间复杂度为 O(n) 的二进制矩阵的表示答案

【问题标题】：Representation of binary matrix with space complexity of O(n)空间复杂度为 O(n) 的二进制矩阵的表示
【发布时间】：2017-06-18 23:21:56
【问题描述】：

我有 nxn 个二进制矩阵（即元素为 0 或 1 的矩阵）。使用二维数组（即存储每个元素的值）空间复杂度为O(n^2)。

有没有办法以空间复杂度为 O(n) 的方式存储它们？欢迎所有运算，如加法、减法等。

矩阵不是稀疏的，所以使用非零元素列表是没有问题的。

【问题讨论】：

问题是如何在 O(n) 空间中存储 n^2 位？一般情况下是不可能的。
如果矩阵是对称的，那么它可以有点完成。除此之外，唯一的途径是无法保证目标大小的压缩算法。
那么我的“没有办法做到这一点”的答案是什么？它是经过数学证明、直观证明、常识，还是只是没有人想出办法做到这一点？
@LukeBriggs 对称矩阵有什么不同？。
@MuhammadNizami "数学证明，直觉证明，常识" 是的，三个都行:)。

标签： algorithm matrix data-structures

【解决方案1】：

我认为它不能保证你有 O(n) 空间，但你可以寻找一种称为 LZW (Lempel-Ziv-Welch) 的压缩算法。

它的代码非常简单，很容易理解它为什么以及如何工作，它应该非常适用于二进制数组，并且你的矩阵越大，压缩率就越好。

不管怎样，如果你知道一些关于矩阵的信息，你可以尝试在一个数组中表示它，你可以通过某种方式恢复它，例如：

如果你的矩阵是 32x32 维度，你可以得到它的任何一行并表示为一个 int，所以整行将变成一个数字，你可能有你的 O(n)

【讨论】：

【解决方案2】：

第一个proof：n*n 位矩阵具有n*n 状态。但是，对于 n 位字符串，您只能存储 n 个状态。因此，除非n>=n*n（例如 n=1），否则无法在 n 位序列中编码n*n 位。

第二个proof，不那么抽象但也不那么完整：想象一下，你有一个 256 位的 16*16 矩阵，并且设法将它存储在 16 位中。现在，当然，您可以使用您的算法将这 16 位存储在 4x4 矩阵中，得到 4 位。现在您将 4 位存储在 2x2 矩阵中并将它们压缩为 2 位。 --> 从本质上讲，这样的算法将能够将任何可以想象的数据量压缩为 2 位。虽然这不是一个实际的证明，但很明显这样的算法不存在。

【讨论】：

【解决方案3】：

不，您不能在 O(n) 空间中存储 n x n 二进制矩阵。证明只是pigeonhole principle。

假设您设计了一种存储任意 n x n 二进制矩阵的方法。这种大小的二进制矩阵有 2^{n x n} 个可能。如果您使用 k 位进行存储，则您的存储可能有 2^k 个内容。现在，如果 k k nxn，根据鸽巢原理，存在两个不同的矩阵（例如，A 和 B），它们存储同样的方式（比如，X 被存储）。因此，当您存储了 X 时，您不能说您实际打算存储的矩阵是 A 还是 B（或者可能是其他一些矩阵）。因此，您无法将存储唯一地解码回存储矩阵的形式，这破坏了存储它的整个目的。

【讨论】：