n 位二进制置换表示的时间复杂度

Question

我在 java 中返回了下面的代码，以生成可能的 n 位二进制表示。

public List<String> binaryRepresenation(int n){
    List<String> list = new ArrayList<>();
    if(n>0){
        permuation(n, list, "");
    }
    return list;
}

private void permuation(int n, List<String> list, String str){
    if(n==0){
        list.add(str);
    }else{
        permuation(n-1, list, str+"0");
        permuation(n-1, list, str+"1");
    }
}

对于 n=3，它产生 001 001 010 011 100 101 110 111 个组合。 总的来说，这个函数产生 2^n 种可能的表示。

可以说时间复杂度是n * 2^n

对于基本情况，该方法被调用了 2^n 次。为了达到每个基本情况，它会调用排列方法最多 n 次。

所以总体上界时间复杂度是 n*2^n？如果我错了，请纠正我。我根据该线程Time Complexity of Permutations of a String 中讨论的字符串排列时间复杂度得出了这个结论。非常感谢您的帮助。

Answer 1

时间复杂度为 O(2ⁿ)。每个函数调用都会将两个新的函数调用压入堆栈，直到达到基本情况。将n = 3 的树可视化如下：

            ________""________
           /                  \
       ___0___              ___1___
      /       \            /       \
    _00_     _01_        _10_     _11_
   /    \   /    \      /    \   /    \
  000  001 010   011   100  101 110   111

这是一棵完美的二叉树，有 15 个节点和 8 个叶子。访问了 2ⁿ⁺¹ 个状态，但我们可以删除常数并简化为 O(2ⁿ)。

字符串连接为复杂性增加了一个n 乘数，但使用StringBuilder 或具有恒定时间推送/弹出或添加/删除操作的容器应该可以消除这种情况，这表明这只是特定于您的实现细节发布的代码，而不是一般算法的复杂性。

Answer 2

您的分析存在一个小问题。正如您所注意到的，对于每个基本情况，您必须调用函数 n 次。但是，其中一些调用被其他基本案例共享。换句话说，您多次计算同一个呼叫。

这意味着虽然复杂度绝对不能大于n * 2 ^ n，但实际上可能更低。

要计算出更好的复杂度界限，您可以计算对permutation 函数的实际调用次数。一种方法是考虑str 变量的可能值。

str 将是长度小于或等于n 的二进制字符串。此外，对permutation 函数的每次调用都会收到一个唯一值str。这意味着函数被调用的次数等于长度为

有多少这样的字符串？ 1 + 2 + 4 + ... + 2 ^ n = 2 ^ (n + 1) - 1

所以，permutation 被调用的次数是O(2^n)。 但是每个调用都包含操作str + "0" 和str + "1"。这些操作需要O(n) 时间。因此，该操作的净时间复杂度为：O(n * 2^n)，但原因与您最初想象的有些不同。