最小化投资组合方差，限制为与基准投资组合足够相似

Question

我正在执行投资组合优化，我想通过以下内容扩展here 的讨论：

我有一个权重向量w_bench 用作基准。我想优化一个投资组合权重向量w_pf 满足

sum(pmin(w_bench, w_pf)) > 0.7

pmin 这是成对的最小值。这迫使优化的投资组合权重w_pf 与基准权重w_bench 相似，并且右手尺寸（在本例中为0.7）控制它们需要匹配的紧密程度。随着该值变大，我们要求投资组合更加相似。

最初我认为我可以使用fPortfolio 包轻松做到这一点（仍在尝试）。但到目前为止还没有骰子。我也认为用quadprog 解决这个问题会更直观，但我不知道如何将所述功能合并到流程中。

Excel 实施：

协方差矩阵：

0.003015254   -0.000235924  0.000242836
-0.000235924  0.002910845   0.000411308
0.000242836   0.000411308   0.002027183

重量：

    w_pf    w_bench min
V1   0.32    0.40    0.32 
V2   0.31    0.50    0.31 
V3   0.38    0.10    0.10 
Ss   1.00    1.00    0.72 

使用 Ss(w_pf) = 1 和 Ss(min) > 0.7 的约束来最小化方差 (=MMULT(TRANSPOSE(H8:H10),MMULT(H3:J5,H8:H10)))

Answer 1

正如您所注意到的，棘手的约束是 sum(pmin(w_bench, w_pf)) > 0.7（实际上，严格的不等式是非常困难的，所以我将使用 >= 而不是 >；您当然可以重新用>= 0.7+epsilon 解决一些小epsilon）。为了解决这个问题，我们将为投资组合中的每个元素i 创建一个新变量y_i，我们将添加约束y_i <= wpf_i（又名wpf_i - y_i >= 0）和y_i <= wbench_i（又名-y_i >= -wbench_i），其中@ 987654331@ 是i 在我们选择的投资组合（决策变量）中的比例，wbench_i 是i 在基准投资组合（输入数据）中的比例。这将y_i 限制为不大于这两个值的最小值。最后，我们将添加约束\sum_i y_i >= 0.7，要求这些最小值之和至少为0.7。

剩下的就是在quadprog 包中实现它。使用您的问题数据进行设置：

cov.mat <- rbind(c(0.003015254, -0.000235924, 0.000242836), c(-0.000235924, 0.002910845, 0.000411308), c(0.000242836, 0.000411308, 0.002027183))
w.bench <- c(.4, .5, .1)
n <- length(w.bench)

由于我们要添加新变量，我们将在与这些新变量对应的行和列中用 0 填充协方差矩阵（将放置在优化目标中）。我们可以这样做：

(cov.mat.exp <- cbind(rbind(cov.mat, matrix(0, n, n)), matrix(0, 2*n, n)))
#              [,1]         [,2]        [,3] [,4] [,5] [,6]
# [1,]  0.003015254 -0.000235924 0.000242836    0    0    0
# [2,] -0.000235924  0.002910845 0.000411308    0    0    0
# [3,]  0.000242836  0.000411308 0.002027183    0    0    0
# [4,]  0.000000000  0.000000000 0.000000000    0    0    0
# [5,]  0.000000000  0.000000000 0.000000000    0    0    0
# [6,]  0.000000000  0.000000000 0.000000000    0    0    0

现在我们要为所有约束创建一个约束矩阵：

(consts <- rbind(rep(c(1, 0), c(n, n)),
                 rep(c(0, 1), c(n, n)),
                 cbind(matrix(0, n, n), -diag(n)),
                 cbind(diag(n), -diag(n))))
#      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
# [1,]    1    1    1    0    0    0
# [2,]    0    0    0    1    1    1
# [3,]    0    0    0   -1    0    0
# [4,]    0    0    0    0   -1    0
# [5,]    0    0    0    0    0   -1
# [6,]    1    0    0   -1    0    0
# [7,]    0    1    0    0   -1    0
# [8,]    0    0    1    0    0   -1
(rhs <- c(1, 0.7, -w.bench, rep(0, n)))
# [1]  1.0  0.7 -0.4 -0.5 -0.1  0.0  0.0  0.0

第一行将强制投资组合权重总和为 1，下一行将强制执行 \sum_i y_i >= 0.7，接下来的三个是 -y_i >= -wbench_i 约束，最后三个是 ypf_i-y_i >= 0 约束。

剩下的就是将它们放入 solve.QP 函数所期望的格式中：

library(quadprog)
mod <- solve.QP(cov.mat.exp, rep(0, 2*n), t(consts), rhs, 1)
# Error in solve.QP(cov.mat.exp, rep(0, 2 * n), t(consts), rhs, 1) : 
#   matrix D in quadratic function is not positive definite!

哎呀！因为我们用额外的 0 填充了新变量的协方差矩阵，所以它是半正定的，但不是正定的。让我们在主对角线上添加一个微小的正常数，然后再试一次：

library(quadprog)
mod <- solve.QP(cov.mat.exp + 1e-8*diag(2*n), rep(0, 2*n), t(consts), rhs, 1)
(w.pf <- head(mod$solution, n))
# [1] 0.3153442 0.3055084 0.3791474
(y <- tail(mod$solution, n))
# [1] 0.3 0.3 0.1
(opt.variance <- as.vector(t(w.pf) %*% cov.mat %*% w.pf))
# [1] 0.0009708365

我们可以看到这不是一个特别有趣的案例，因为我们努力添加的约束不是绑定的。让我们将右手边从 0.7 增加到 0.9 来看看约束的作用：

(rhs <- c(1, 0.9, -w.bench, rep(0, n)))
# [1]  1.0  0.9 -0.4 -0.5 -0.1  0.0  0.0  0.0
mod <- solve.QP(cov.mat.exp + 1e-8*diag(2*n), rep(0, 2*n), t(consts), rhs, 1)
(w.pf <- head(mod$solution, n))
# [1] 0.3987388 0.4012612 0.2000000
(y <- tail(mod$solution, n))
# [1] 0.3987388 0.4012612 0.1000000
(opt.variance <- as.vector(t(w.pf) %*% cov.mat %*% w.pf))
# [1] 0.00105842

在这种情况下，约束是绑定的； y_1 和 y_2 的最小值来自我们的新组合，y_3 的最小值来自基准组合。我们看到，由于约束，最优组合的方差相对增加了 9.0%。