为什么假设乘以 n 的时间复杂度是常数？答案

【问题标题】：Why is it assumpted that the time-complexity of multiplication by n is constant?为什么假设乘以 n 的时间复杂度是常数？
【发布时间】：2019-04-02 20:00:38
【问题描述】：

无论乘法（或除法）操作如何实现（即是软件功能还是硬件指令），都无法及时解决O(1)。对于较大的n 值，处理器甚至无法通过一条指令计算它。

在这样的算法中，为什么这些操作是常量而不依赖于n？

for (i = 1; i <= n; i++) {
    j = n;
    while (j > 1)
        j = j / 3;    //constant operation
}

【问题讨论】：

这取决于底层架构如何实现。在大多数实践情况下，它是无关紧要的，可以由一个足够大的常数限定。事实上，常数可能是最大可能值，在这种情况下，操作立即有界。无论如何，它通常与所分析的算法无关，只会偏向于我们真正感兴趣的内容。
通常，本地类型的乘法是 O(1)（恒定时间）。 Java、.NET 和其他环境中的大整数类型通常具有更高的复杂性。例如，请参阅javaspecialists.eu/archive/Issue236.html。
@JimMischel 我们正在计算大 n 值的复杂度。所以我们应该让 n 尽可能大。那么为什么乘以 n 是常数呢？（据我所知，通常假定它是恒定的）
只是把它当作假设（有时被采用）显示理论和实践之间的差距。从理论的角度来看，您还可以质疑加法的恒定复杂性，考虑到物理学：光速和每面积/体积信息密度的上限（在所有东西都消失在黑洞中之前）。
请重新阅读我的评论。如果您的n 是本机类型（如long 或double），则该值无关紧要。系统乘以 9324568078 的速度与乘以 7 的速度一样快。如果 n 是其他一些非本地类型（如 BigInteger），则乘法具有更高的复杂性，如我链接的文章中所述。跨度>

标签： algorithm time-complexity computability

【解决方案1】：

时间复杂度不是时间的度量。它是对“基本操作”的衡量标准，可以根据需要进行定义。通常，任何算术运算都被认为是基本运算。有时（例如，在考虑排序算法或哈希表操作的时间复杂度时），基本操作是比较。有时，“基本操作”是对单个位的操作（在这种情况下，j=j/3 的时间复杂度为 O(log(j))。

倾向于遵循的规则是：

如果您说的是排序或哈希表，那么基本操作就是比较
如果您谈论的是任何其他实用算法，基本运算是算术运算和赋值。
如果您谈论的是 P/NP 类，则基本操作是确定性图灵机的步数。（我认为这相当于位操作）。
如果您作为复杂性理论专家谈论实用算法，您通常会假设基本类型有 ~log n 位，并且基本运算是算术运算和对这些 ~log n 位字的赋值。李>

【讨论】：