为什么以下代码的时间复杂度是 O(n^2)？

Question

void level_order_recursive(struct node *t , int h) //'h' is height of my binary tree
{                                                 //'t' is address of root node
    for(int i = 0 ; i <= h ; i++)  
    {
        print_level(t , i);
    }
} 

每次调用 print_level() 后，我认为递归函数被调用 (2^i) 次。所以 2^0 + 2^1 + 2^2 ....2^h 应该给出 O(2^n) 的时间复杂度。我哪里错了？

void print_level(struct node * t , int i)
{
    if( i == 0)
        cout << t -> data <<" ";
    else
        {
            if(t -> left != NULL)
                print_level(t -> left , i - 1);   //recursive call
            if(t -> right != NULL)
                print_level(t -> right , i - 1); //recursive call
        }
}

Answer 1

你混淆了 h 和 n。 h 是树的高度。 n 显然是树中元素的数量。所以 print_level 采用最坏情况 O ($2^i)，但这也只是 n。

当你有一棵退化树时，最坏的情况会发生，其中每个节点只有一个后继节点。在这种情况下，您有 n 个节点，但树的高度也是 h = n。在这种情况下，每次调用 print_level 都需要 i 步，从 1 到 h = n 的 i 相加得到 O ($n^2)。

Answer 2

你总是从树的根t 开始，每次增加一级 (i)，直到达到树的高度h。

你说它是一棵二叉树，但你没有提到任何属性，例如平衡左右。所以我假设它可能是一棵不平衡的二叉树，因此在最坏的情况下树的高度可以是h = n，其中n 是节点数（这是一个完全不平衡的树，实际上看起来像一个列表）。

所以这意味着level_order_recursive 循环n 次。 IE。最坏的情况是树有n 级别。

print_level 接收根节点和要打印的级别。它递归地调用自己直到它达到级别并打印出该级别。
即它循环 i 次（递归调用每次将 i 减一）。

所以你有1 + 2 + 3 + ... + h 迭代。因为h = n 你得到1 + 2 + 3 ... + n 步骤。这是(n * (n+1))/2（高斯和公式），位于O(n^2)。

如果您可以确保树是平衡的，那么您将改善最坏的情况，因为高度将是h = ld(n)，其中 ld 表示二进制对数。

Answer 3

基于this 或that，第 3 页和第 4 页，类似于我们案例的二分查找算法的时间复杂度为 T(n) = T(n/2) + c。 除此之外，左右子树都被浏览，因此下面公式中的 2T(n/2)，因为这是一种遍历算法，而不是搜索算法。

在这里，我将遵从问题并使用“h”而不是“n”。

使用递归关系，你得到以下证明：

Answer 4

在最坏的情况下，时间复杂度将为 O(n^2) 但不能为 2^n，因为每个级别的时间复杂度将是-> O(n) + O(n-1) + O(n- 2) + ... + O(1)，最坏的情况是 O(n^2)。