为什么方阵乘法的时间复杂度定义为 O(n^3)？答案

【问题标题】：why is the time complexity of square matrix multiplication defined as O(n^3)?为什么方阵乘法的时间复杂度定义为 O(n^3)？
【发布时间】：2012-11-10 12:47:28
【问题描述】：

我在多个来源（在线和书籍）中遇到过这个问题 - 对于大小为 nXn 的矩阵，方阵乘法的运行时间为 O(n^3)。（示例 - matrix multiplication algorithm time complexity）

该语句将表明此乘法过程的运行时间上限为 C.n^3，其中 C 是某个常数，n>n0 其中 n0 是某个输入，超出该上限成立。（http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation 和 What is the difference between Θ(n) and O(n)?）问题是，我似乎无法推导出常数 C 和 n0 的值。

我的问题 -

有人可以为“方阵乘法的大哦是 O(n^3)”这句话提供数学证明吗？
C 和 n0 的值是多少？

【问题讨论】：

对于每个单元格（n^2），你会遍历相应行和列中的n个单元格，然后将它们相乘，所以是O(n^3)。
所以如果我们有 2 个矩阵 A 和 B，每个矩阵都是 nXn。它们的乘积是大小为 nXn 的矩阵 X。您是在暗示对于 X 中的每个值（X 中有 n^2 个值），您必须遍历 A 和 B 中的总共 n 个元素？还是更像A中的n个元素和B中的n个元素，这会使这个n^4而不是n^3。
A 中的 n 个元素和 B 中的 n 个元素，是的，但总计最多为 2n，而不是 n^2。所以最终结果是O(n^3)。

标签： big-o matrix-multiplication

【解决方案1】：

彼此之间有 3 个 for 循环，每个循环从 0 到 n-1（或 1 到 n）（可以看到 in the link you provided，即使它不完全正确），这导致 O(n³）。将其形式化为适当的证明应该很容易。
a) 对于正式证明，运行时间需要根据一组操作来定义，通常被认为是任何算术运算。在 3 个 for 循环中，有 2 个算术运算（1 个乘法，1 个加法），因此我们得到 2.n<sup>3</sup>，因此 C = 2。

b) n0 = 0 因为这在 n = 1 时成立

注意，由于 big-O 只是一个上限，我们也可以说这个算法的复杂度是 O(n^k) 对于任何 k >= 3（同样不会如果我们使用 big-Theta 表示法，则为真）。我们也可以将 C 和 n0 分别取为大于 2 和 0 的任何值（因为要求不是找到可能的最小值）。

【讨论】：

谢谢！感谢您纠正我的错误，我的意思是渐近上限。很抱歉混淆。相关 - mathforum.org/library/drmath/view/51904.html
@QuestMonger 非常感谢您提供的数学论坛链接...这是我还没有遇到过的最容易理解的答案！