我是否以正确的方式思考使用 Dijkstra 算法图的负权重？答案

【问题标题】：Am I thinking in the right way about this Negative weights using Dijkstra's Algorithm graph?我是否以正确的方式思考使用 Dijkstra 算法图的负权重？
【发布时间】：2017-02-08 00:49:30
【问题描述】：

我一直在试图弄清楚为什么 Dijkstra 的算法不适用于负加权图，并且我了解所有示例，这些示例具有指向已充分探索的节点的进一步节点。但是这个例子让我很头疼；

我这样想对吗？首先探索A。 A->B 将是 1 和 A->C 将是 100。然后探索B 并将B->D 设置为2。然后探索 D 是因为目前它具有返回源的最短路径（即位于优先级队列的顶部）？

如果B->D 是100，C 将首先被探索（因为A->D 是101），我是否正确？

人们在每个解释中都没有真正提到的一件事是，一个节点已经被探索/访问过，它不能再更新了，因为 Dijkstra 工作在优先级队列上。在这种情况下，我很难理解为什么在C 之前访问了D。

【问题讨论】：

你说得对。该算法仅在节点从队列中移除时已知到该节点的最短路径时才有效，并且如果稍后某个节点可能与该节点有负权链接，则该算法不一定正确。
谢谢马特。你为什么不把它作为答案，我会打勾。我关于将 B->C 更改为 100 的第二个陈述是否正确？
我认为我的回答不会为网站增加很多价值，所以我会留下空间以防有人想提供一个很好的解释。是的，你的第二个说法是正确的。
它会失败，因为 Djikstra 的算法基于这样一个事实：当一个节点被探索/关闭时，已经找到了到该路径的最短路径。您不能说明图表中何时可能存在负权重。

标签： algorithm graph dijkstra

【解决方案1】：

很简单：当使用 Djikstra 算法的节点被探索/访问/关闭时，这意味着您已经找到了到该节点的最短路径，因此该节点不需要重新探索或重新访问，您已经知道到节点的最短路径。

例如，当您选择 D 进行探索时，PQ 中有两条路径：

A-B-D 成本为 2
A-C 成本 100

然后选择成本最低的路径。然后，很明显，如果弧线成本始终为正，则您无法找到通过 A-C 到 D 的最短路径。已找到到 D 的最短路径，节点已关闭。

但是，当允许负弧成本时，所有这些推理都不成立，这就是为什么 Djikstra 的算法不适用于他们。

【讨论】：

【解决方案2】：

我认为您所描述的 Dijkstra 算法仅适用于正权重函数。特别是 Dijkstra 算法在每个加权（正）图上给出了一个有效的度量空间结构。另一方面，这似乎不是任意加权图的情况。以具有两个节点 A 和 B 以及它们之间的一条边的权重 -5 为例。在这种情况下，这不会给出 A 和 B 之间的距离。所以你所描述的，我认为会属于某种修改后的 Dijkstra 模型，并且从一个节点到另一个节点的解释不能再解释为节点之间的距离.

【讨论】：

我不确定我是否遵循。我上面使用的算法仅在正权重函数上是正确的。我上面给出的解释是（我认为）导致算法无法看到 A->C->D 是最短路径的原因。
在这种情况下，您对“最短路径”的定义是什么？是从 A 到 D 的边序列给你最小的权重和吗？
是的，到 D 的最短路径。
那么就是A->C->D。
是的，我知道。我试图理解为什么 Dijkstra 的算法会看不到这一点（随后将 A->B->D 标记为答案）。