以下代码的时间复杂度是O(n)？

【问题标题】：How the time complexity of the following code is O(n)?以下代码的时间复杂度是O(n)？
【发布时间】：2017-02-14 10:12:01
【问题描述】：

我在 Interview Bit 上解决一个时间复杂度问题，如下图所示。

这个问题的正确答案是 O(N)。但在我看来，答案应该是 O(NlogN)。由于第一个“for循环”的复杂度应该是O（logN），因为变量i在每次迭代中除以2，我研究过每当循环变量被乘以或除以2时，时间复杂度是O (logN)。现在，对于第二个“for循环”，复杂度应该是O(N)，因此最终的复杂度应该是O(N*logN)。

谁能解释我错在哪里？

【问题讨论】：

请注意，O(NlogN) 实际上并不是错误，因为 O() 是一个上限。它的信息量比 O(N) 少。
你出错的地方是，当外部循环进入 O(log N) 次时，提供的想法可能是整个算法确实需要 O(? * log N)，内部循环不会对于外循环的每次执行，对于某个常数 c，平均执行 cN 次。正如 IVlad 的回答所述，您需要计算得出几何级数。

标签： algorithm time-complexity big-o asymptotic-complexity

【解决方案1】：

做实际的数学运算：

T(N) = N + N/2 + N/4 + ... + 1 (log_2 N terms in the sum)

这是一个几何级数，比率为1/2，所以和等于：

T(N) = N*[1 - (1/2)^(log_2 N)] / (1 - 1/2) =
     = [N - N/(2^log_2 N)] / 0.5 =
     2^log_2 N = N
     = (N - 1) / 0.5

所以T(N) 是O(N)。

【讨论】：

@IVIAd，我了解您如何计算 T(n) = O(n)。但我认为你只计算了外部 for 循环。但是对于内部的 for 循环我们应该怎么做呢？
@DG4 不，它适用于整个程序。当i = N 时，内部被执行N 次。当i = N/2 时，内部被执行N/2 次，以此类推。所以总和考虑了一切。