数组算法及其时间复杂度分析

Question

我应该分析这段代码并说明它的时间复杂度，但我无法理解代码本身的作用，它如何改变数组 a？

下面两个操作我也看不懂： 1) foobar[a[i]]++; 所以你用数组 a 的元素替换 foobar 中的零？但是 ++ 有什么作用呢？

2) a[outPos++]=1; 这首先增加 outPos，并在整个 for 循环期间保持 a[0] 不变？

public static void foo(int[] a, int b) {
    int [] foobar = new int[b+1];
    for (int i = 0; i<foobar.length; i++)
        foobar[i]=0;
    for (int i = 0; i<a.length; i++)
        foobar[a[i]]++;
    int outPos = 0;
    for (int i=0; i<foobar.length; i++)
        for (int j=0; j<foobar[i]; j++)
            a[outPos++]=i;
}

就时间复杂度而言，我认为是 O(n^2)。前两个 for 循环在恒定时间内运行。但是在我看来，第三个嵌套循环的最坏情况是 foobar 中的最后一个元素很大，然后它会是二次的？

Answer 1

是Counting Sort的实现，

其中a[]存储要排序的数组，b是a[]中的最大整数

foobar[]是大小为b的计数数组

让N = sizeof(a), M = b 为常用符号，

前两个循环：

1. 将计数数组初始化为零O(M)
2. 计算元素，比如a[]、foobar[10] = 3、O(N) 中是否有 3 个 '10'

棘手的第三个循环：

1. 外循环，毫无疑问，O(M)
2. 内循环，你必须考虑总（最大）时间，j 可以增加：这是Sum(foobar[]) = sizeof(a) = N，所以确实这个循环，贯穿整个外循环循环迭代，势必最多执行N次。 所以两个循环整体是O(N+M)，而不是直观的O(NM)

所以总复杂度是：O(N) + O(M) + O(N+M) = O(N+M)。

如果您发现第三个循环的复杂性难以理解，请这样思考：

这是一个 0 和游戏。如果有一些foobar[z] is large，那么有很多foobar[j] = 0，这几乎意味着跳过这样的i 的内部循环。否则，所有foobar[j] 的大小都差不多。

很难分析i 的每次迭代，但很容易分析整个内部循环，因为我们知道foobar[] 的总和是一个常数。

Answer 2

这看起来像 counting sort 实现。考虑到N（项目数）为数组a的长度，M（最大可能项目）为b，其时间复杂度为O(N+M)。