两组大小截然不同的顶点的最大加权二分匹配

Question

抽象问题

我想在完整的加权二分图中找到最佳的最大匹配，其中两组顶点的大小差异很大，即一组顶点非常大而另一组非常小。

Hungarian algorithm 不是解决这个问题的好方法，因为它将虚拟顶点添加到较小的集合中，使得两个集合具有相同的大小，所以我失去了一个顶点集合的所有潜在效率增益非常小。

更具体的

我已将对象（边界框）分成两组，并且我有一个相似性度量（Jaccard 重叠）来衡量任何两个对象的相似程度。我想产生两组之间的匹配，使得所有单个匹配的相似性总和最大。

问题是其中一组只包含很少的对象，例如 10 个，而第二组非常大，例如 10,000 个对象。第一组中的 10 个对象中的每一个都需要与第二组中的 10,000 个对象中的一个进行匹配。

这两组大小的不对称让我想知道如何有效地做到这一点。我无法使用匈牙利算法并生成 10,000 x 10,000 矩阵。

Answer 1

就可用软件而言，这可能是最简单的方法：使用最小成本网络流求解器。这个公式对矩形成本矩阵没有问题！基本思想很简单，简介是here（如下图所示的一张幻灯片）：

有很多可用的软件（例如 Coin-OR Lemon/C++；Google 的 ortools/C++ 有很多包装器）。

Google 的 ortools 在this 上也有自己的文档条目。

尽管如此，这本书：

Burkard、Rainer E.、Mauro Dell'Amico 和 Silvano Martello。作业问题，修改重印。卷。 125. 暹罗，2009 年。

有一个很小/很小的章节（5.4.4 矩形成本矩阵）概述了其他方法，主要是对其他线性分配算法的修改。

该章的部分内容如下：

或者，可以使用第 4.4.1 节的最小成本流问题的转换，它不需要顶点集 U 和 V 具有相等的基数。