什么是 O(log* N)？答案

【问题标题】：What is O(log* N)?什么是 O(log* N)？
【发布时间】：2011-01-24 03:57:33
【问题描述】：

什么是 O(log* N)，它与 O(log N) 有何不同？

【问题讨论】：

类似问题：stackoverflow.com/questions/2307283/… 不幸的是，O(log* N) 没有答案。
这个问题是关于日志后的 * 还是关于一般的 O() 表示法？
它在一些高级数据结构中，虽然我离开学校太久了，不记得它是从哪里来的！
我猜不是那么先进，只是记住了 - 使用路径压缩的联合查找的初始下限设置为 O(n log* n)，直到它降低到 O(A n)，其中 A 是反阿克曼函数..
嘿。在实践中，我认为我会对 O(n) 的估计感到满意。 :-)

标签： algorithm math complexity-theory logarithm iterated-logarithm

【解决方案1】：

O( log* N ) 是“iterated logarithm”：

在计算机科学中，n的迭代对数，写成log*n（通常读作“对数星”），是在结果小于或等于1之前必须迭代应用对数函数的次数。

【讨论】：

这真的很有趣，我没听说过。问+答+1。我猜 O(log*N) 是万能的 O(1)。酷。
@greg, no log(n) 意味着随着元素数量的增加，时间会变慢。例如。 10 倍的元素只使函数花费 2 倍的时间
我想我是在分析Union-Find算法时第一次遇到它，当时是O( N log* N )，后来改进为O( A N )，其中A是反阿克曼函数。后面的证明我还是没看懂，不过O( N log* N )这个算法还是比较好读的。
@Martin，但这是 log*(n)，它疯狂地缓慢上升，因此 log*(2^65536 -1) = 5。你不妨称之为常量。
抱歉，没有意识到日志星的差异，谢谢 - 学习新东西！

【解决方案2】：

log* N 位是一种迭代算法，它的增长非常缓慢，比 log N 慢得多。您基本上只是反复“记录”答案，直到它低于 1（例如：log(log(log(...log(N)))），而您必须log() 的次数就是答案。

无论如何，这是 Stackoverflow 上的一个五年前的问题，但没有代码？（！）让我们解决这个问题 - 这是递归和迭代函数的实现（它们都给出相同的结果）：

public double iteratedLogRecursive(double n, double b)
{
    if (n > 1.0) {
        return 1.0 + iteratedLogRecursive( Math.Log(n, b),b );
    }
    else return 0;
}

public int iteratedLogIterative(double n, double b)
{
    int count=0;
    while (n >= 1) {
        n = Math.Log(n,b);
        count++;
    }
    return count;
}

【讨论】：

这如何回答这个问题？
@MarounMaroun：我已经编辑了答案的开头以提供更多上下文。代码是他要求的描述/定义。

【解决方案3】：

log* (n)- "log Star n" 也称为 "Iterated logarithm"

简单来说，你可以假设 log* (n)= log(log(log(.....(log* (n))))

log* (n) 非常强大。

示例：

1) Log* (n)=5 其中 n= 宇宙中的原子数

2) 使用 3 种颜色的树着色可以在 log*(n) 中完成，而着色树 2 种颜色就足够了，但复杂度将是 O(n)。

3) 找出已知欧几里得最小生成树的一组点的 Delaunay 三角剖分：随机 O(n log* n) 时间。

【讨论】：