O(log(n!)) 和 O(n!) 是什么？我相信是O(n log(n)) 和O(n^n)？为什么？
我认为这与斯特林近似有关，但我不太明白解释。
如果我错了，有人可以纠正我吗（关于 O(log(n!) = O(n log(n))）？如果可能的话，用更简单的术语来计算数学？我认为我不需要证明在现实中我只是想知道它是如何工作的。
【问题讨论】：
n! 就是这样。虽然奇怪的符号......
标签： big-o
O(n!) 不等同于O(n^n)。它渐近小于O(n^n)。
O(log(n!)) 等于 O(n log(n))。这是证明的一种方法：
请注意，通过使用日志规则log(mn) = log(m) + log(n)，我们可以看到：
log(n!) = log(n*(n-1)*...2*1) = log(n) + log(n-1) + ... log(2) + log(1)
证明O(log(n!)) ⊆ O(n log(n)):
log(n!) = log(n) + log(n-1) + ... log(2) + log(1)
小于：
log(n) + log(n) + log(n) + log(n) + ... + log(n) = n*log(n)
所以O(log(n!)) 是O(n log(n)) 的子集
证明O(n log(n)) ⊆ O(log(n!)):
log(n!) = log(n) + log(n-1) + ... log(2) + log(1)
大于（该表达式的左半部分，所有(n-x) 被n/2 替换：
log(n/2) + log(n/2) + ... + log(n/2) = floor(n/2)*log(floor(n/2)) ∈ O(n log(n))
所以O(n log(n)) 是O(log(n!)) 的子集。
由于O(n log(n)) ⊆ O(log(n!)) ⊆ O(n log(n))，它们是等效的 big-Oh 类。
【讨论】：
log 的力量。
log 应用于等式的两边。如果可以，那么您也可以争辩说O(n²) = O(n)，因为O(log(n²)) = O(2log(n)) = O(log(n))。
log 应用于等价的两边的原因是因为每一边都是set 并且集合不在log 函数的域中。
O(n!) 是 O(n^n) 的严格子集。这种“证明”毫无意义。 n/n^n 的极限是 n 到无穷大也是 0；与1/n^n 的限制相同。你的推理将证明O(1) = O(n^n)。
O(n^n)不在O(n!)中。
通过斯特林近似，
log(n!) = n log(n) - n + O(log(n))
对于较大的 n，右侧由项 n log(n) 支配。这意味着 O(log(n!)) = O(n log(n))。
更正式地，"Big O" 的一个定义是 f(x) = O(g(x)) 当且仅当
lim sup|f(x)/g(x)| < ∞ as x → ∞
使用斯特林近似，很容易使用这个定义证明 log(n!) ∈ O(n log(n))。
类似的论点适用于 n!。通过取斯特林近似两边的指数，我们发现，对于大的 n，n!行为渐近如 n^(n+1) / exp(n)。由于 n / exp(n) → 0 as n → ∞，我们可以得出结论 n! ∈ O(n^n) 但 O(n!) 不等价于 O(n^n)。 O(n^n) 中存在 O(n!) 中不存在的函数（例如 n^n 本身）。
【讨论】：