O(n) 和 O(log(n)) 之间的区别 - 哪个更好，O(log(n)) 到底是什么？

Question

这是我的第一门数据结构课程，每次讲座/助教讲座，我们都会谈论O(log(n))。这可能是一个愚蠢的问题，但如果有人能向我解释这到底是什么意思，我将不胜感激！？

Answer 1

简而言之，O(log n) 优于 O(n)

O(log n) 到底是什么？

一般来说，当提到大 O 表示法时，log n 是指以 2 为底的对数，（同样 ln 表示以 e 为底的对数）。这个以 2 为底的对数是指数函数的倒数。 一个指数函数增长非常迅速，我们可以直观地推断出它的反函数会完全相反，即增长非常缓慢。

例如

x = O(log n)

我们可以将 n 表示为 ,

n= 2^x

还有

2¹⁰ = 1024 → lg(1024) = 10

2²⁰ = 1,048,576 → lg(1048576) = 20

2³⁰ = 1,073,741,824 → lg(1073741824) = 30

n 的大幅增加只会导致 log(n) 的微小增加

另一方面，对于 O(n) 的复杂度，我们得到线性关系

log₂n 的因数应随时超过 n 的因数。

为了进一步巩固这一点，我在Algorithms Unlocked By Thomas Cormen 中遇到了一个示例

考虑两台计算机：A 和 B

两台计算机都有一个任务是在数组中搜索一个值 假设数组有 1000 万个元素需要搜索

计算机 A- 这台计算机每秒可以执行 10 亿条指令，预计使用复杂度为 O(n) 的算法来执行上述任务。我们可以将这台计算机完成任务所需的时间近似为

n/(指令 p 秒) → 10⁷/10^9 = 0.01 秒

计算机 B- 这台计算机要慢得多，每秒只能执行 1000 万条指令。计算机 B 预计将使用复杂度为 O(log n) 的算法执行上述任务。我们可以将这台计算机完成任务所需的时间近似为

log(n) /(指令 p 秒) → log(10⁷)/10⁷ = 0.000002325349

通过这张图，我们可以看到，虽然计算机 A 比计算机 B 好很多，但由于 B 使用的算法，它完成任务的速度要快得多。

我想现在应该很清楚为什么 O(log(n)) 比 O(n) 快得多

Answer 2

O(logn) 表示算法的最大运行时间与输入大小的对数成正比。 O(n) 表示算法的最大运行时间与输入大小成正比。

基本上，O(something) 是算法指令数（原子指令）的上限。因此，O(logn) 比 O(n) 更严格，并且在算法分析方面也更好。但是所有O(logn)的算法也是O(n)，但不是倒过来的……

Answer 3

正式定义：

g(x) = O(f(x)) 有 x0 和常数 C，对于每个 x > x0，|g(x)|

因此，如果你发现问题 P 的算法 A 的复杂度为 O(f(n))， 您可以说，当 n 通常是输入大小时，您的算法将执行的步数逐渐小于或等于 f(n)。 （n可以是任何东西）

进一步阅读：http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation。

Answer 4

对于大小为n 的输入，O(n) 的算法将执行与n 成比例的步骤，而O(log(n)) 的另一个算法将大致执行log(n) 的步骤。

显然log(n) 小于n 因此复杂度算法O(log(n)) 更好。因为它会更快。

Answer 5

http://en.wikipedia.org/wiki/Big_oh

O(log n) 更好。

Answer 6

这意味着有问题的事物（通常是运行时间）以与其输入大小的对数一致的方式缩放。

Big-O notation 并不意味着一个精确 方程，而是一个有界。例如，以下函数的输出都是 O(n)：

f(x) = 3x
g(x) = 0.5x
m(x) = x + 5

因为随着 x 的增加，它们的输出都会线性增加 - 如果 f(n) 和 g(n) 之间的比率为 6:1，那么 f(10*n) 和 g(10*n) 之间的比率也将约为 6:1，并且以此类推。

---

至于O(n)或O(log n)哪个更好，考虑：如果n = 1000，那么log n = 3（对于log-base-10）。您希望算法运行哪个时间：1000 秒还是 3 秒？