大 O 复杂度 10n = O(n²)

Question

我正在尝试理解大 O 符号，但它比我想象的要难一些。我有一个函数 10n 我想证明 10n = O(n²)。

谁能告诉我如何证明这一点？

我可以使用的可能值是：

• c = 0，n0 = 1
• c = 1, n0 = 1
• c = 2, n0 = 5
• c = 1，n0 = 9

Answer 1

Big O 表示法的想法很简单：

g(n) = O(f(n)) 如果当 n 足够大时，g(n) 的增加率小于或等于 f(n) 的增加率（等于，我的意思是比值小于无穷大）

所以如果 g(n) = O(f(n)) 那么

k 可以是 0 或小于无穷大的正数。

所以你的情况

暗示 10n = O(n^2)

Answer 2

你必须找到 n₀ 和 c 的值，这样对于每个 n ≥ n₀ 10n ≤ c⋅n²

是真的

让我们试试你在 cmets 中提出的可能性：

• c=0, n₀=1

  不，那行不通，对于 n=1，我们发现 10n > 0n²

• c=1, n₀=1

  不，那不行，至于 n=1 我们发现 10n > 1n²

• c=2, n₀=5

  是的，这行得通：我们必须证明：

  10n ≤ 2n²，所以

  10 ≤ 2n，所以

  5 ≤ n.

  由于 n₀=5 并且我们必须只检查 n ≥ n₀ ，我们有一个永远正确的陈述。

• c=1, n₀=9

  不，那行不通，对于 n=9，我们发现 10n > 1n²。注意：如果我们选择 n₀=10，它会起作用，但这不在您提供的选项中。