有向强连通图中所有顶点对的最小切割答案

【问题标题】：Minimum cut over all pairs of vertices in directed and strongly connected graph有向强连通图中所有顶点对的最小切割
【发布时间】：2016-02-27 16:19:15
【问题描述】：

我有一个图 G，它是一个有向且强连通的图，我被要求找到所有顶点对的最小割，这意味着图中的每一对 S 和 T。这应该在 O(m² × n²) 时间内完成。

我想出的最好的方法是将所有顶点视为 S，并且对于每个 S，将所有其他顶点视为 T，并为每个顶点运行 Ford-Fulkerson 算法，然后找到最小割。但如果我没记错的话，这个算法的复杂度是 O(m² × n² × C)。

我怎样才能在 O(m² × n²) 时间内完成这项任务？有可能吗？

【问题讨论】：

感谢您的编辑 m69，现在我们等待答复:)
CS 180 是一场斗争
呵呵，经过5个小时的试错，感觉这个算法实际上是做不到要求的时间复杂度的。
你是说 O(m^2 × n^2 × C) = O(m^2 × n^2) 吗？ C 不是常数，它是最大流量值。
我认为我在复杂性方面犯了一个错误，最终的复杂性是 O(n^2 x m x C) 而不是 O(n^2 x m^2 x C)。但是，这仍然不是我们想要的复杂性。

标签： algorithm graph max-flow ford-fulkerson minimum-cut

【解决方案1】：

符号：
m：边数
n：节点数
c_max：最大单边容量
C：最大流量值。

Dinic's algorithm 可以用来解决手头的任务。它在O(m * n^2) 中运行。 O(n^2) min cut 计算的蛮力方法然后产生总共O(m * n^2 * n^2)，这是m = O(n^2) 的期望结果。对于m = o(n^2) 的稀疏图，我找不到明确的结果；然而，对于m = O(n) this paper 给出O(n^2 + n^4 * log n) = O(m^2 * n^2 * log n) 的结果。

有几种算法可以计算复杂度低于O( m * n^2 ) 的有向图中的最小割（或等效的最大流）。 Wilf H.S., Algorithms and Complexity, 1st ed. 在第 65 页有一个调查。最容易使用的算法可能是 Dinic (O(m * n^2))。

虽然乍一看，Ford-Fulkerson 算法的时间复杂度高达O( m * C )，但它也有一些严重的缺点：

时间复杂度仅对整数边容量有效。事实上，由于边缘容量不合理，该算法甚至不能保证完全终止，也不能收敛到最大流量（参见this paper 以获取可证明的最小反例；在维基百科文章中也引用了这篇论文）。
时间复杂度取决于最大流量的值。

流量值的意义

最大流量值C 不一定是节点和边数的函数。即使是（取决于图拓扑），以下观察成立：any 图中的最大可能流值是边数乘以最大边容量，m * c_max 等于O(m).

这会将整数边容量的 Ford-Fulkerson 复杂度变为O(m^2)，除非单个边的最大容量是图中节点或边数的函数，这是一个非标准假设。

对于其他算法没有影响，因为它的执行取决于图拓扑和相对于彼此的边容量，而不是绝对边容量（因此，也不是最大流量值的函数） .

【讨论】：