最小成本强连通有向图答案

【问题标题】：Minimum cost strongly connected digraph最小成本强连通有向图
【发布时间】：2010-12-04 21:32:30
【问题描述】：

我有一个强连接的有向图（即，对于图 G 中的每对节点 (i, j)，都有一条从 i 到 j 和 j 到 i 的路径）。我希望从这个图中找到一个强连通图，使得所有边的总和最小。

换句话说，我需要以这样一种方式去除边，即在删除它们后，图仍然是强连接的，并且边的总和成本最低。

我认为这是一个 NP 难题。我正在为一小组数据（例如 20 个节点）寻找最佳解决方案，而不是近似值。

编辑

更一般的描述：给定一个图 G(V,E) 找到一个图 G'(V,E') 使得如果在 G 中存在从 v1 到 v2 的路径，那么在 v1 和G' 中的 v2 和 E' 中每个 ei 的总和是最不可能的。所以它类似于找到一个最小等价图，只是在这里我们要最小化边权重的总和而不是边的总和。

编辑：

到目前为止我的方法：我想过使用多次访问的TSP来解决它，但这是不正确的。我的目标是覆盖每个城市，但使用最低成本路径。所以，我猜这更像是封面设置问题，但我不确定。我需要使用总成本最低的路径覆盖每个城市，因此多次访问已经访问过的路径不会增加成本。

【问题讨论】：

不，不是，我正在尝试实现 tsp 及其变体
我对成本是多少感到困惑。它是您保留的边缘成本的总和吗？每对节点之间的 n^2 条路径的成本总和？覆盖每个节点的一组路径的成本总和（确实不符合 SCC 的要求）？
成本是构成图形的所有边的权重之和

标签： algorithm graph traveling-salesman np-hard

【解决方案1】：

似乎您基本上想要的是旅行商的最佳解决方案，其中允许多次访问节点。

编辑：

嗯。你能通过本质上迭代每个节点 i 来解决这个问题，然后做一个指向到节点 i 的所有边的最小生成树，与指向 的所有边的另一个最小生成树联合吗？ 来自那个节点？

【讨论】：

实际上我解决了这个问题 TSPm，但它不起作用，在我的情况下，我应该被允许多次重新访问节点以及边缘，我将编辑问题以获得更多描述跨度>

【解决方案2】：

听起来你想使用Dijkstra algorithm

【讨论】：

Dijkstra 不适用于这里...至少不是以任何明显的方式。
嗯，你可以使用 Dijkstra 来解决 TSP，所以它是一个可能的解决方案。只需定义部分解决方案的搜索空间，然后以最低成本的顺序搜索它。当然，这并不意味着在这种情况下它是一个好的解决方案。

【解决方案3】：

我会以动态编程的方式尝试这个。

0- 将图表放入列表中

1- 列出上一个列表中每个图的新子图，其中为每个新子图删除一条不同的边

2- 从新列表中删除重复项

3- 从新列表中删除所有非强连接的图

4- 将新列表中的最佳图表与当前最佳图表进行比较，如果更好，则设置新的当前最佳图表

5-如果新列表为空，则当前最佳为解决方案，否则，递归/循环/转到1

在 Lisp 中，它可能看起来像这样：

(defun best-subgraph (digraphs &optional (current-best (best digraphs)))
  (let* ((new-list (remove-if-not #'strongly-connected
                                  (remove-duplicates (list-subgraphs-1 digraphs)
                                                     :test #'digraph-equal)))
         (this-best (best (cons current-best new-list))))
    (if (null new-list)
        this-best
        (best-subgraph new-list this-best))))

strongly-connected、list-subgraphs-1、digraph-equal、best 和 better 的定义留给读者练习。

【讨论】：

【解决方案4】：

您的问题被称为最小跨度强子（二）图（MSSS）或更一般地，最小成本跨度子（二）图并且是NP-hard indeed。另见另一本书：page 501 和 page 480。

我会从删除所有不满足三角不等式的边开始 - 如果 a -> b -> c 更便宜，您可以删除边 a -> c。这让我想起了 TSP，但不知道这是否会导致任何地方。

我之前的回答是使用解决Arborescence 问题的Chu-Liu/Edmonds algorithm；正如 Kazoom 和 ShreevatsaR 指出的那样，这无济于事。

【讨论】：

有向生成树的 MST 并不能真正解决问题。有向树 mst 仅找到从根到其他节点的最短路径。在我的情况下，我需要找到一个具有从一个节点到每个其他节点的路径的图，可能不是最少的，但图的边的总和需要最小
“有向树 mst 只找到从根到其他节点的最短路径” - 这就是 Dijkstra 所做的吗？根据我链接的其他参考资料，总和被最小化，并且结果图是强连接的。你能清楚地说明什么是错的吗？（这不是无向 MST 算法对有向图的字面使用）
@sdcvvc：最小树状问题给出的结果图是树状，因此不是强连接的。它具有从根到所有其他节点的路径，但不是在所有节点对之间。例如，它没有进入根的边缘，也没有从叶子的边缘。
要达到最佳值的 2 倍很容易 - 选择任意节点并计算该节点的最小生成树和内树。

【解决方案5】：

这个问题相当于这里描述的问题：http://www.facebook.com/careers/puzzles.php?puzzle_id=1

【讨论】：

【解决方案6】：

帮助我解决著名的 facebull 难题的几个想法：

预处理步骤：

修剪：如果有更便宜或具有相同成本路径，则删除所有边 a-b，例如：a-c-b。
图分解：如果图有关节点，则可以解决子问题
如果只有一条出边，则将顶点合并为一个虚拟顶点。

计算步骤：

使用重复访问的定向 TSP 获得近似解。使用 Floyd Warshall，然后使用匈牙利方法解决分配问题 O(N^3)。如果我们有一次循环 - 它是定向 TSP 解决方案，如果没有 - 使用分支和绑定 TSP。之后我们就有了上限值——最小成本的循环。
精确解决方案 - 分支定界方法。我们从最短循环中删除顶点，并尝试以低于上限的成本构建强连通图。

这就是所有人。如果你想测试你的解决方案 - 在这里试试：http://codercharts.com/puzzle/caribbean-salesman

【讨论】：

Floyd Warshall 的目的是什么？
为什么可以用匈牙利语（不用注意体重？）
使用匈牙利方法后。如果我们从来没有循环。为什么结果是最小成本周期的上限值？
1.第 1 步我们需要 FW。如果我们得到的路径 a->b（例如 a->c->b）比原始顶点 a->b 短，那么我们可以删除这样的顶点。 2. 如果匈牙利语给我们一个循环 - 它等于有向 TSP 解，所以我们将其作为上限。
如果我们得到multi-cycle，那么我们让每个cycle 到一个virtual vertex 并且再匈牙利一次呢？直到我们只得到一个循环，那么它就是上限

【解决方案7】：

最小强连接子图的 2 近似值是通过将最小内分支和最小外分支联合来获得的，两者都以相同（但任意）顶点为根。

out-branching，也称为arborescence，是一棵以单个顶点为根的有向树，跨越所有顶点。内分支与反向边缘相同。这些可以通过Edmonds' algorithm 在时间 O(VE) 中找到，并且有到 O(E log(V)) 的加速（参见wiki page）。甚至还有一个open source implementation。

2 近似结果的原始参考是paper by JaJa and Frederickson，但该论文不可免费访问。

Adrian Vetta (PDF) 甚至有 3/2 的近似值，但比上面的更复杂。

【讨论】：