我的函数的大 O 运行时间是 N^2 还是 N log N？答案

【问题标题】：Is the big O runtime of my function N^2 or N log N?我的函数的大 O 运行时间是 N^2 还是 N log N？
【发布时间】：2019-11-21 15:19:06
【问题描述】：

from linkedlist import LinkedList

def find_max(linked_list): #  Complexity: O(N)
  current = linked_list.get_head_node()
  maximum = current.get_value()
  while current.get_next_node():
    current = current.get_next_node()
    val = current.get_value()
    if val > maximum:
      maximum = val
  return maximum

def sort_linked_list(linked_list):  # <----- WHAT IS THE COMPLEXITY OF THIS FUNCTION?
  print("\n---------------------------")
  print("The original linked list is:\n{0}".format(linked_list.stringify_list()))
  new_linked_list = LinkedList()

  while linked_list.head_node:
    max_value = find_max(linked_list)
    print(max_value)
    new_linked_list.insert_beginning(max_value)
    linked_list.remove_node(max_value)

  return new_linked_list

由于我们循环了while循环N次，运行时间至少为N。对于每个循环我们调用find_max，但是，对于每次调用find_max，我们解析为find_max的linked_list减少了一个元素。基于此，运行时不是N log N吗？

还是N^2？

【问题讨论】：

什么是 1 + 2 + ... + (n-1) + n？
不，你还是 N^2。每次减少列表的大小意味着你是 1/2 N^2，但这只是一个常数。

标签： python python-3.x big-o complexity-theory

【解决方案1】：

还是O(n²)；每次将大小减小 1 只会使n * n / 2 有效工作（因为平均而言，每次通过时您必须处理原始长度的一半，而您仍在进行n 传递）。但由于常量因子不包含在大 O 表示法中，因此简化为 O(n²)。

要成为O(n log n)，每一步都必须减半要扫描的列表大小，而不是简单地减少一。

【讨论】：

谢谢，我特别喜欢你上一条关于运行时间为 O(n log n) 时的评论，这确实清除了很多！
注意：我写了n * n / 2，而技术上它是n * (n + 1) / 2。但是加法比这里的常数除数更重要，当我谈到在每次传球时平均处理原始长度的一半时，省略它会更清楚。
@xingZì：很高兴它有帮助。我会注意到，从技术上讲，它不必专门将大小减半。减半会给你一个以 2 为底的日志，这通常是人们在讨论复杂性时的意思（因为分而治之通常是通过每一步减半自然完成的）。从技术上讲，任何在每一步之后应用固定除数的方法（例如，将长度减少三分之一、四分之一或三分之二等）都是O(n log n) 的一种形式，但在 99% 的情况下，人们提到的日志是base-2，它指的是涉及以某种方式分成两半的算法。
顺便说一句，所有答案似乎都忽略了linked_list.remove_node(max_value)，我假设它的运行时间为N？这不会使函数 O(N^3) 吗？
@xingZì：这是一个加法步骤，而不是乘法步骤。它与查找步骤具有相同的行为（(n + 1) / 2 每一步的平均工作量），因此合并它仅意味着工作量是n * ((n + 1) / 2 + (n + 1) / 2)；将两个(n + 1) / 2s 结合起来，就可以简化为n * (n + 1)。对于 big-O，+ 1 被忽略，所以它仍然是 O(n²)。如果find_max 函数返回最大节点，则代码会更快（因此可以使用O(1) 工作将其删除，而不是在O(n) 处搜索），但大O 是相同的；该算法可能需要两倍的时间，但它会以相同的方式扩展。

【解决方案2】：

它是n + n-1 + n-2 + ... + 1，它是算术序列，所以它是n(n+1)/2。所以在大 O 表示法中，它是 O(n^2)。

【讨论】：

【解决方案3】：

别忘了，O-notation 处理最坏情况的复杂性，并描述了整个类函数。就 O 表示法而言，以下两个函数的复杂度相同：

64x^2 + 128x + 256           --> O(n^2)
x^2 - 2x + 1                 --> O(n^2)

在您的情况下（以及您的算法所谓的选择排序，选择列表中的最佳元素并将其放入新列表中；其他O(n^2) 排序包括插入排序和 冒泡排序），您有以下复杂性：

0th iteration: n
1st iteration: n-1
2nd iteration: n-2
...
nth iteration: 1

所以整个复杂度将是

n + (n-1) + (n-2) + ... + 1  =  n(n+1)/2  =  1/2n^2 + 1/2n

它仍然是 O(n^2)，尽管它会处于该类的低端。

【讨论】：