算法的运行时间是多少？是 O(sqrt(n)) 还是 O(log(n))？答案

【问题标题】：What is the running time of the algorithm? is it O(sqrt(n)) or O(log(n))?算法的运行时间是多少？是 O(sqrt(n)) 还是 O(log(n))？
【发布时间】：2020-01-08 16:20:48
【问题描述】：

编辑：约束值范围 [2,1000000000] 和 a

 def sqrtoccurrence(a: Int, b: Int): Int = {
        val sqrtA = Math.ceil(Math.sqrt(a)).toInt
        val sqrtB = Math.floor(Math.sqrt(b)).toInt
        if(sqrtA > sqrtB) 0
        else 1 + sqrtoccurrence(sqrtA, sqrtB)      
      }

是 O(sqrt(n)) 还是 O(log(n))？我不擅长计算递归运行时间。我知道它的树的深度以及递归函数被调用的次数。在这种情况下，恒定工作 sqrt 会影响多少，所以是否可以忽略它？但也许我错了。有很大帮助的解释。谢谢

【问题讨论】：

n 在这里代表什么？我在您的代码或算法中看不到 n。
这段代码似乎有缺陷。如果您设置 a = 1，它将永远不会完成。如果 a > 1，那么它似乎是 O(sqrt(n)) 尽管如果 a 和 b 是随机数，它将立即终止大约一半的时间.

标签： algorithm scala performance runtime big-o

【解决方案1】：

以下是我对必要运行时间的推理。在a > b 的最佳情况下，不需要递归，因此它是O(1) 操作。当a <= b 使ceil(sqrt(a)) > floor(sqrt(b)) 成为可能时，唯一可以使a 和a 和b 重复的sqrt() 将它们的差异减小到小于舍入误差。

在最坏的情况下，我们正在研究大 b 的重复 sqrt() 如何“缩小”以满足小 a 的终止要求。因此，我将输入n 上的函数的运行时间描述为：

T(n) = T(sqrt(n)) + C  // where C is O(1)

要计算必要递归的近似数量r，我们可以查看递归结束时n 的重复sqrt() 的最终值，例如m，并建立一个方程如下逻辑：

m 是将sqrt() 应用于n r 次的结果

因此，

(..(m^2)^2)^2 ... )^2 = n  // `r` times of `^2`

即

m^(2^r) = n

这意味着：

2^r = log(n)     // log base `m`

r = log(log(n))  // outer log base `2`

因此，时间复杂度为O(log(log(n)))。

sqrtoccurrence(2, 10)           // 1
sqrtoccurrence(2, 100)          // 2
sqrtoccurrence(2, 1000)         // 3
sqrtoccurrence(2, 1000000)      // 4
sqrtoccurrence(2, Int.MaxValue) // 4

def log2(x: Double): Double = math.log(x) / math.log(2)

log2(log2(10))           // 1.732
log2(log2(100))          // 2.732
log2(log2(1000))         // 3.317
log2(log2(1000000))      // 4.317
log2(log2(Int.MaxValue)) // 4.954

【讨论】：

让a=b=2^17 。然后sqrt(a)=sqrt(b) = 362.03；这意味着f(a,b) = 0 并且仅在一次迭代中计算，但log(log(n)) = 4.09。随着 n 变大，情况会变得更糟。也许log log n 是当 a 和 b 的形式为 2^k 时的复杂度。
@jrook，总是有最好的情况（在这种情况下为a >= b）运行时间远低于大 O 建议的时间。但请记住，即使 n 比 2^17 大得多，log(log(n)) 也几乎不会超过 4.9。事实上，log(log(Int.MaxValue)) < 5.0。这与我对sqrtoccurrence 与小a 和大b 的简短测试结果一致，这是时间复杂度近似所基于的非最佳情况。
嗨，leo，我认为这是正确的答案，但请您解释一下答案。你是如何推导出 Olog(log(n)) 的。特别是“我要断言 ceil(sqrt(a)) 相对于 floor(sqrt(b)) 的价值增益率将主要取决于 sqrt() 的“收缩”率”
@jrook big-O 表示最坏的情况，而不是最好的情况。 f(a,b) =0 是最好的情况，它不是 O 表示法。
@gamer，我已经扩展了答案，希望能让解释更清楚。

【解决方案2】：

从我们得到的另一个答案

T(n) = T(sqrt(n)) + C

现在让

2^m = n

重写

T(2^m) = T(sqrt(2^m)) + C
       = T(2^(m/2)) + C

让我们定义一个新函数

S(m) = T(2^m)

然后

S(m) = T(2^m)
     = T(2^(m/2)) + C
     = S(m/2) + 2C

我们现在知道了

S(m) = O(log m)

因此

T(n) = T(2^m) = S(m) = O(log m) = O(log log n)

【讨论】：