LogN的值是多少[重复]

Question

所以我一直在研究大 O 表示法（Noob），大多数东西对我来说都像是外星语言。现在我了解日志的基本知识，例如 base2 的 log 16 是 2 的幂等于数字 16。现在对于二进制搜索大 O(logN) 对我来说毫无意义，LogN 的值是什么，这里的基数是什么？我在网上搜索过，问题是每个人都用数学解释了这个我无法理解我数学不好。有人可以用基本英语而不是像指数这样的外星语言向我解释这一点。我知道二进制搜索的工作原理。

第二个问题：[我什至不知道 f = Ω(g) 这个符号是什么意思] 谁能用简单的英语向我解释这里需要什么，我不想要答案，只是这意味着什么。 题 ： 在以下每种情况下，请说明是 f = O(g)，还是 f = Ω(g)，或两者兼而有之。 （在这种情况下 f = Θ(g)）。

f(n)              g(n)

(a) n-100 .............n-200

(b) 100n + logn .......n + (log n)2

(c) log2n ...... log3n

Answer 1

更新：我刚刚意识到我是从 MIT 的视频中学习算法的。这是link to the first of those videos。继续下一节课，只要你愿意。

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很明显，如果不确定 n 是什么以及我们使用的日志基础是什么，Log(n) 就没有任何价值。经常提及 log(n) 的目的是帮助人们了解特定算法或代码的增长率。它只是为了帮助人们正确看待事物。要建立您的观点，请参阅下面的比较：

1 < logn < n < nlogn < n2 < 2^n < n! < n^n

上面那行说在数轴上n 的某个值之后，上面写的函数的增长率是在那里提到的顺序。这样，决策者可以决定他们想采用哪种方法来解决他们的问题（学生可以通过算法设计和分析考试）。

关于您的问题，当书籍说“二进制搜索的运行时间是 Log(n)”时，本质上它们的意思是如果您有 n 个元素，则二进制搜索的运行时间将与 Log(n ) 如果您有 17n 个元素，那么您可以在与 Log(17n) 成比例的持续时间内从算法中得到答案。在这种情况下，Log 函数的基数是 2，因为在二分查找中，我们在每个节点上都有准确的 <= 2 路径可供选择。

因为，通过乘以一个常数，可以很容易地将 log 函数的基数从任何数字转换为任何其他数字，告诉基数是什么变得无关紧要，因为在大 O 表示法中，常数被忽略了。

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关于第二个问题的答案，图片将是最好的解释。

Big O 只是关于函数的上限。在下图中，f(n) = O(g(n))。换句话说，存在正常数 c 和 k，使得对于所有 n ≥ k，0 ≤ f(n) ≤ cg(n)。

• k 的重要性在于，在“k”之后，这个大 O 将保持为真，无论 n 的值是多少。如果我们无法修复“k”，我们就不能说增长率将始终低于 O(...) 中提到的函数。
• c 的重要性在于它是 O(...) 之间的 函数 非常重要。

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Omega 只是大 O 的反演。如果 f(n) = O(g(n))，则 g(n) = Ω(f(n))。换句话说，Ω() 是关于您的函数保持高于 Ω(...) 中提到的另一个“k”和另一个“c”的给定值。

图形可视化是

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最后，Big theta 是关于找到一个数学函数，该函数的增长速度与您给定的函数相同。但是你如何证明这个函数和你的函数运行一样。通过使用两个常量值。

由于它与您给定的函数运行相同，您应该能够将两个常量 'c1' 和 'c2' 相乘，这将能够将 c1 * g(n) 放在函数 f(n) 之上并将 c2 * g(n) 低于你的函数 f(n)。

Big theta 背后的目的是提供一个具有相同增长率的函数。请注意，可能没有常数“c”能够使 f(n) 和 g(n) 重叠。没有人关心这个。唯一需要考虑的是能够使用两个常数将 f(n) 夹在 g(n) 之间，这样我们就可以自信地说我们找到了 f(n) 的增长率。​​p>

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如何将以上学到的想法应用到您的问题中？

让我们一一介绍。您可以使用一些在线工具来绘制这些函数，并亲眼看看这些函数在沿着数轴方向时的表现。

• f(n) = n - 100 和 g(n) = n - 200

在这里，可以通过区分两个函数 wrt n 来找出增长率。 d(f(n))/dn = d(g(n))/dn = 1。因此，即使 f(n) 和 g(n) 的运行时间可能不同，但它们的增长率是一样的。你能选择 'c1' 和 'c2' 使得 c1 * g(n)

• f(n) = 100n + log(n) 和 g(n) = n + 2(log (n))

区分并判断您是否可以将这些函数关联为 Big O 或 Big Theta 或 Big Omega。

• f(n) = log (2n) 和 g(n) = log (3n)

同上。

(图片取自本网站不同页面：http://xlinux.nist.gov/dads/HTML/)

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我的经验：尝试比较很多不同功能的增长率。最终，您将掌握所有这些方法的窍门，并且对您来说将变得非常直观。考虑到一两个星期的集中努力，这个概念对任何人来说都不会是深奥的。

Answer 2

首先，让我们看一下符号。我从这些问题中假设 O(f) 是上限， Ω(f) 是下限，并且 Θ(f) 两者都是

在这种情况下，对于 O(log(N))，通常不会给出基数，因为无论基数如何，log(N) 的一般形式都是已知的。例如，

_{（来源：rapidtables.com）}

因此，如果您已经研究过二进制搜索算法（如果您还没有，我建议您这样做），您应该会发现最坏的情况（上限）是 log_2(N)。因此，给定 N 个术语，在最坏的情况下需要“log_2(N) 次计算”才能找到该术语。

关于第二个问题，

您只是在比较 f 和 g 的计算运行时间。

f = O(g)

是当 f 是 g 的上限时，即 f 肯定会比 g 花费更长的时间来计算。或者，

f = Ω(g)

是当 f 是 g 的下界时，即 g 肯定会比 f 花费更长的时间来计算。最后，

f = Θ(g)

当 f 既是 g 的上界又是下界时，即运行时间相同。

您需要比较每个问题的两个函数，并确定哪个函数需要更长的时间来计算。正如 Mitch 提到的，您可以查看已回答此问题的 here。

编辑：不小心链接了 e^x 而不是 log(x)

Answer 3

从未指定日志的基础的原因是因为它实际上是完全不相关的。您可以通过三个步骤说服自己：

首先，回忆一下 log_2(x) = log_10(x)/log_10(2)。但还记得 log_10(2) 是一个常数，我们称之为 k2，所以实际上，log_2(x) * k2 = log_10(x)

其次，回想一下，这不是以 2 为底的对数所独有的。转换的常数各不相同，但所有对数函数都通过乘法常数相互关联。

（如果您了解 log 函数背后的数学原理，您可以自己证明这一点，或者您可以在电子表格上非常快速地处理它——有一列 log_2(x) 和一列 log_3(x) 和分开他们。）

最后，请记住，在 Big Oh 表示法中，常量基本上是不相关的。试图区分 O(log_2(N)) 和 O(log_3(N)) 就像试图区分 O(N) 和 O(2N)。这是一个无关紧要的区别，因为 log_2 和 log_3 是通过常量关联的。

老实说，日志的基础并不重要。