在具有 N 个顶点和 N 个边的图中优化所有最短路径的搜索答案

【问题标题】：Optimizing search of all the shortest paths in a Graph with N vertices and N edges在具有 N 个顶点和 N 个边的图中优化所有最短路径的搜索
【发布时间】：2015-10-02 13:50:00
【问题描述】：

我需要在 Graph G 中找到所有对之间的最短路径。我正在使用 Floyd–Warshall 算法来计算解决方案。

鉴于G 的这些事实，我需要知道是否有更好的选择来找到所有最短路径：

G 是一个无向图。
顶点数和边数相同。
所有边权重均为正数。

鉴于这些事实，还有比 Floyd-Warshall 更好的解决方案吗？

【问题讨论】：

The numbers of vertices and the edges is the same - 这是否意味着图非常稀疏？
我不知道那是什么意思。（我没有太多图论背景）
这正是我的意思
我会说 #2 意味着该图有一个循环和 0 个或多个“尾巴”。在这种情况下，击败 Floyd-Warshall 应该相当容易。
图是否连通？

标签： algorithm tree graph-theory shortest-path

【解决方案1】：

对稀疏图的 Dijkstra 最短路径算法进行了修改，该算法运行速度非常快，并揭示了对数线性（接近线性）渐近行为。您需要从 N 个顶点进行 N 次搜索，得到 O(N^2*LogN) 的渐近时间，该时间优于 O(N^3) Floyd–Warshall 算法。

可能您的图具有特殊的拓扑结构，可以使用更有效的方法...

C++ code with Russian description（可能被谷歌浏览器翻译）

我有网格图here的delphi实现。

【讨论】：

图表代表路线，据我所知，除了我列出的功能之外，没有任何特别之处。
好的，我为路线图做了那个实现。

【解决方案2】：

你试过约翰逊算法吗？它似乎完全解决了您的问题，即稀疏加权图上的 APSP（没有负权重的圆圈） https://en.wikipedia.org/wiki/Johnson%27s_algorithm

【讨论】：

是的，但测试表明 Floyd-Warshall 的效率要高得多
但是由于我在算法方面没有广泛的背景，但约翰逊的核心基本上是在每一对上执行 Dijkstra 算法？对吗？

【解决方案3】：

感谢@MBo @DubioserKerl，这是找到的最佳方法。

由于有N 顶点和N 边并且图是连通的，我们知道只有一个循环，因此可以以某种方式“压缩”该循环并保存该循环的“满足”与图表的其余部分。

例如在下图中，我们可以替换循环c-d-e-g 并创建一个新节点h 并保存所有外部循环的关系

a -> c
b -> d
f -> g

，所以如果我们需要找到a 和b 之间的路径，我们需要

使用基于 LCA 算法的最短路径查找折叠图中的路径 a - b。
并在循环中找到d - c之间的最短路径

我希望已经足够清楚了，实现就在这里

【讨论】：