数组的二分匹配

Question

我有数组 A 和 B。我必须找到数组 B 的最大匹配，这样 B[i] 的每个索引都可以与 A[j] 的任何索引匹配当且仅当 A[j ]!=B[i] 和 A[j] 之前没有匹配。例如：

A = {1 2 3 4}
B = {2 2 3 4}
Maximum Matching is 4 A[0]=B[3] , A[1]=B[2] , A[2]=B[1], A[3]=B[0]

A = {1 1 2}
B  = {1 1 2}
Maximum Matching 2 A[0]=B[2] , B[1]=No Matching , A[2]=B[0]

我知道这是一个最大二分问题，但问题是 A=B 的长度。这将使我的二分解决方案超时。有没有更好的解决办法？

代码：

public static boolean is_match(int curr) {
    for(int i = 0; i < A.length; i++) {

        if(A[i] != curr && !V[i]) {

            V[i] = true;
            if(P[i] < 0 || is_match(P[i])) {
                P[i] = curr;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

我为每个 B 调用这个函数：

for(int i:B){
    V = new boolean[n]
    if(is_match(i)) match++;
}

如何改进我的解决方案？

Answer 1

这个问题可以可视化为最大流量问题。

因此，由于条件为A[j]!=B[i] and A[j] is not previously matched，因此知道A 中的索引i 是否匹配j 或B 中的k 和B[j] == B[k] 并不重要。

因此，不是将图表示为2*n 节点的二分图，而是每个节点表示数组 A 和 B 中的一个索引，我们可以将问题表示为一个流图，其中包含一个源节点、一个汇节点和列表表示 A 和 B 的唯一值的节点，以及节点 a（表示 A 中的 a 值）到源节点的容量是 A 中具有值 a 的索引数量。类似地，映射到下沉节点的节点b 的容量将等于B 中具有值为b 的索引的数量。从 A 到 B 的有效节点之间的容量是无穷大的。

例如，数组A = {1, 1, 2, 2} 和B = {1, 2, 2, 3, 3, 3, 3}

因此，我们创建了一个包含源节点和汇节点的流程图。

• 另外，对于数组 A，我们创建了两个额外的节点，一个用于值 1，一个用于值 2。源节点将连接到这两个节点。

• 对于节点 B，我们创建三个节点，一个用于值 1，一个用于值 2，一个用于值 3。

• 现在，源节点将只连接到数组 A 中的节点，容量相等：节点 2 表示值 1（因为数组 A 中有两个 1），节点 2 表示值 2（有两个2 在数组 A) 中。

• Sink 节点将仅连接到阵列 B 中的节点，容量为： 节点 1 代表值 1（数组 B 中只有一个 1）；节点2代表值2（数组B中有两个2），节点4代表值3（数组B中有四个3）。

• 从数组 A 到 B 的有效节点之间的连接将具有无限容量。

现在剩下的工作就是运行一个典型的最大流量算法。

Answer 2

我认为您可以将原始算法调整为 O(n^2)。

对于 A 中的每个节点：（即此循​​环将重复 n 次）

1. 第一次扫描，看看我们是否可以将此节点与 B 中的一个匹配。O(n)
2. 如果不是，那么我们知道 B 中所有不匹配的节点与我们的 A 节点具有相同的值。将此值称为a。扫描所有以前的匹配项以查看是否有任何 A 节点 (!=a) 已与 B 节点 (!=a) 匹配。如果是这样，请更改前一个节点的映射，我们为新节点腾出空间。 O(n)

这是总体 O(n^2)。

只有当 B 中不等于 a 的所有节点都已经映射到 A 中等于 a 的节点时，第二遍才会找不到匹配项。这意味着等于 a 的节点太多，无法解决问题，而且问题不可能每个都满足。

Answer 3

二分匹配问题可以通过所谓的Hungarian algorithm来解决，也可以建模为maximum flow problem；也许这些算法的实现更快。

作为流问题的建模工作如下； A 的项目构成左分区，B 的项目构成右分区。在分区之间，当且仅当可以匹配它们时，在节点之间创建容量为1 的边缘。将源节点放在最左边，将其连接到左侧分区的每个节点，其边缘容量为1；还将一个终端节点放在最右边，将其连接到右侧分区的每个节点，其容量为1。如果从源到终端的流量最大化，它将对应于通过选择中间这些具有非零流量值的边缘的最大匹配。