Miller-Rabin 测试 (SICP 1.28)

Question

费马检验的一种变体被称为米勒-拉宾检验（Miller-Rabin 检验）（Miller 1976；Rabin 1980）。这从费马小定理的另一种形式开始，它指出如果 n 是一个素数并且 a 是任何小于 n 的正整数，则 a 的 (n - 1) 次幂等于 1 模 n。

为了通过 Miller-Rabin 测试来测试一个数 n 的素数，我们选择一个小于 n 的随机数 a 并提高a 到 (n - 1)st 幂模 n 使用expmod 过程。但是，每当我们在expmod 中执行平方步骤时，我们都会检查是否发现了“1 模 n 的非平凡平方根”，即数不等于 1 或 n - 1，其平方等于 1 模 n。

可以证明，如果1的这样一个非平凡平方根存在，那么n不是素数。也可以证明，如果 n 是一个非素数的奇数，那么，对于至少一半的数 a ，计算 an-1 以这种方式将显示 1 模 n 的非平凡平方根。 （这就是为什么 Miller-Rabin 测试不能被愚弄的原因。）

修改expmod 过程以在发现1 的非平凡平方根时发出信号，并使用该过程以类似于fermat-test 的过程实现米勒-拉宾测试。通过测试各种已知的素数和非素数来检查你的程序。提示：制作expmod 信号的一种便捷方法是让它返回 0。

这是我目前所拥有的。

(define (square x) (* x x))
(define (even? n) (= (remainder n 2)))

(define (expmod-signal b n m)
  (define (check a)
    (and (not (= a 1))
         (not (= a (- n 1)))
         (= (square a) (remainder 1 n))))
  (cond ((= n 0) 1)
        ((check b) 0)
        ((even? n) (remainder (square (expmod-signal b (/ n 2) m)) m))
        (else (remainder (* b (expmod-signal b (- n 1) m)) m))))

(define (miller-rabin n)
  (define (fail? n a)
    (or (= n 0) (not (= n a))))
  (define (try a)
    (cond ((= a 1) #t)
          ((fail? (expmod-signal a (- n 1) n) a) #f)
          (else (try (- a 1)))))
  (try (- n 1)))

我认为我正确实现了miller-rabin，但我不明白修改后的expmod 应该如何工作。你检查正方形之前的数字还是正方形之后的数字？我不知道从阅读问题。

Answer 1

我通过在expmod-signal 中使用expmod 的原始定义解决了这个问题。在我的测试中的某个地方，expmod-signal 自然地返回零并弄乱了测试。我误解了检查功能，“其平方等于1模n”的意思是检查a^2 % m = 1。这个检查函数的工作方式是，如果参数是 1 mod n 的非平凡平方根，则返回 0，否则返回参数。如果它返回零，则零会传播到expmod-signal 的其余部分并返回。

(define (square x) (* x x))
(define (even? n) (= (remainder n 2)))

(define (expmod base exp m)
  (cond ((= exp 0) 1)
        ((even? exp) (remainder (square (expmod base (/ exp 2) m)) m))
        (else (remainder (* base (expmod base (- exp 1) m)) m))))

(define (expmod-signal b n m)
  (define (check a)
    (if (and (not (= a 1))
             (not (= a (- n 1)))
             (= (remainder (square a) n) 1))
        0
        a))
  (cond ((= n 0) 1)
        ((even? n) (remainder (square (check (expmod b (/ n 2) m))) m))
        (else (remainder (* b (expmod b (- n 1) m)) m))))

(define (miller-rabin n)
  (define (fail? a)
    (or (= a 0) (not (= a 1))))
  (define (try a)
    (cond ((= a 1) #t)
          ((fail? (expmod-signal a (- n 1) n)) #f)
          (else (try (- a 1)))))
  (try (- n 1)))