Java 中的 Miller-Rabin 素性测试答案

【问题标题】：Miller-Rabin Primality test in JavaJava 中的 Miller-Rabin 素性测试
【发布时间】：2013-06-09 11:02:59
【问题描述】：

我目前正在研究Project Euler，并认为如果不只是蛮力解决所有问题，它可能会更有趣（以及更好的学习体验）。在问题 3 中，它要求一个数的素因数，我的解决方案是对数进行因式分解（使用另一种因式分解算法），然后测试这些因数的素数。我为米勒-拉宾素性测试提出了这段代码（在彻底研究素性测试之后），它对我输入的所有复合奇数返回 true。有人能帮我找出原因吗？我以为我已经正确编码了算法。

    public static boolean isPrime(long num)
{
if(num % 2 == 0)
    return false;
else
{
    double d;
    int r=0;
    while((num-1) % Math.pow(2,r+1) == 0)
        r++;
    d = (num-1) % Math.pow(2,r);
    int[] a = {2,3,5,7,11,13,17,23,31,62,73,1662803};
    boolean primality = true;
    for(int k = 0; k < a.length; k++)
    {
        if((Math.pow(a[k],d)-1) % num != 0)
        {
            for(int s = 0; s < r-1; s++)
            {
                if((Math.pow(a[k],Math.pow(2,s)*d)+1) % num != 0)
                    primality = false;

            }
        }
    }
    return primality;
}

【问题讨论】：

你试过追踪代码吗？
这与您的代码无关，我也没有多少专业知识，但是“分解数字（使用另一种分解算法）”是一个比识别素数更难的问题。您可以通过获取素数列表来避免强制分解。获取素数列表（与测试素数相对应）的最简单方法是使用筛子。
@JanDvorak：提出了一个很好的观点。您应该考虑用 BigInteger 类替换 long 的使用。
@JuanSebastianLozanoMuñoz：22？这听起来很奇怪。我希望第一个 if 条件能够捕捉到这一点。你确定你调用的是正确的函数吗？
不应该 while(num % Math.pow(2,r+1) == 0) 是 while((num-1) % Math.pow(2,r+1) == 0) 或者更好（对我来说）while((num-1) % (1<<r+1) == 0) 然后是 d = ((num-1) % (1<<r));

标签： java primes number-theory

【解决方案1】：

给定num > 3，你想要：d, r s.t. pow(2,r) * d = num - 1, where d is odd。

您实际上是在计算 num - 1 的尾随零，以删除 2 的因子。然而，在那个循环之后，你知道pow(2,r) 是num - 1 的一个因子。因此：

d = (num-1) % Math.pow(2,r);

将始终产生：d = 0。我怀疑您打算在这里用/ (div) 替换% (mod)；否则，Math.pow(a[k],d)-1 将始终产生 (0)，并且永远不会执行内部循环。

正如其他人指出的那样，一些简单的跟踪语句或断言会发现这些错误。我认为您还有其他问题，例如整数溢出。测试a[] 候选者的循环（a-SPRP 测试）在我看来完全错误。

也许你从Wikipedia 得到了算法，我更喜欢The Handbook of Applied Cryptography 中更详细的参考：4.2.3: Miller-Rabin test, Algorithm: 4.24。

【讨论】：

感谢您提供的信息丰富的回答 :) 我会查看您提供的资源，因为它们看起来非常有用，下次使用跟踪语句时会更加小心（现在我知道那些是）。
@JuanSebastianLozanoMuñoz - 由于您正在处理 Project Euler 问题，我想您可能会发现高效的 Miller-Rabin 测试很有用，所以我为您准备了 sn-p here。
哇，非常感谢 :) 这肯定会帮助我解决 PE 问题。