C++ 中的 Miller-Rabin 素数测试问题

Question

我一直在尝试实现 the algorithm from wikipedia，虽然它从不将合数输出为素数，但它会将 75% 的素数输出为合数。

最多 1000 它给了我这个素数输出：

3、5、7、11、13、17、41、97、193、257、641、769

据我所知，我的实现与伪代码算法完全相同。我已经逐行调试它，它产生了所有预期的变量值（我跟着我的计算器）。这是我的功能：

bool primeTest(int n)
{
    int s = 0;
    int d = n - 1;

    while (d % 2 == 0)
    {
        d /= 2;
        s++;
    }

    // this is the LOOP from the pseudo-algorithm
    for (int i = 0; i < 10; i++)
    {
        int range = n - 4;
        int a = rand() % range + 2;
        //int a = rand() % (n/2 - 2) + 2;
        bool skip = false;
        long x = long(pow(a, d)) % n;

        if (x == 1 || x == n - 1)
            continue;

        for (int r = 1; r < s; r++)
        {
            x = long(pow(x, 2)) % n;

            if (x == 1)
            {
                // is not prime
                return false;
            }
            else if (x == n - 1)
            {
                skip = true;
                break;
            }
        }

        if (!skip)
        {
            // is not prime
            return false;
        }
    }

    // is prime
    return true;
}

任何帮助将不胜感激 D：

编辑：这是整个程序，按照你们的建议进行了编辑 - 现在输出更糟糕了：

bool primeTest(int n);

int main()
{
    int count = 1;     // number of found primes, 2 being the first of course
    int maxCount = 10001;
    long n = 3;
    long maxN = 1000;
    long prime = 0;

    while (count < maxCount && n <= maxN)
    {
        if (primeTest(n))
        {
            prime = n;
            cout << prime << endl;
            count++;
        }

        n += 2;
    }

    //cout << prime;
    return 0;
}

bool primeTest(int n)
{
    int s = 0;
    int d = n - 1;

    while (d % 2 == 0)
    {
        d /= 2;
        s++;
    }

    for (int i = 0; i < 10; i++)
    {
        int range = n - 4;
        int a = rand() % range + 2;
        //int a = rand() % (n/2 - 2) + 2;
        bool skip = false;
        //long x = long(pow(a, d)) % n;
        long x = a;
        for (int z = 1; z < d; z++)
        {
            x *= x;
        }

        x = x % n;

        if (x == 1 || x == n - 1)
            continue;

        for (int r = 1; r < s; r++)
        {
            //x = long(pow(x, 2)) % n;
            x = (x * x) % n;

            if (x == 1)
            {
                return false;
            }
            else if (x == n - 1)
            {
                skip = true;
                break;
            }
        }

        if (!skip)
        {
            return false;
        }
    }

    return true;
}

现在素数的输出，从 3 到 1000（和以前一样）是：

3、5、17、257

我现在看到 x 变得太大了，它只是变成了一个垃圾值，但直到我删除了 "%n" 部分我才看到。

Answer 1

错误的可能来源是对 pow 函数的两次调用。中间结果会很大（尤其是第一次调用）并且可能会溢出，导致错误。您应该查看 Wikipedia 上的 modular exponentiation 主题。

Answer 2

问题的根源可能在这里：

x = long(pow(x, 2)) % n;

C 标准库中的pow 处理浮点数，因此如果您只想计算以 n 为模的幂，那么使用它是一个非常糟糕的主意。解法其实很简单，用手算个数就行了：

x = (x * x) % n