求解递归：T(n)=3T(n/2)+n

Question

我需要找到 n 的递归解，如果 T(n)=3T(n/2)+n 为 n>1，则为 2 的幂，否则为 T(n)=1。

使用n=2^m,S(m)=T(2^(m-1)) 的替换我可以开始：

S(m)=2^m+3*2^(m-1)+3^2*2^(m-2)+⋯+3^(m-1) 2^1+3^m

但我不知道如何简单地做到这一点。

Answer 1

这样的问题可以使用Masters theorem来解决。

在您的情况下，a = 3、b = 2 和 f(n) = n。

所以c = log_b(a) = log_2(3)，大于1，因此你属于第一种情况。所以你的复杂性是：

O(n^{log_2(3)}) = O(n^{1.58})

Answer 2

您可以使用 Masters theorem 解决此问题，也可以通过以下方式打开递归树：

• 在递归树的根部，您将拥有 n 个工作。
• 在第二阶段，树分为三部分，每部分的工作都是 n / 2。
• 继续前进，直到到达树叶。整个工作叶将为：O (1) = O (n / 2 ^ k) 当：n = 2 ^ k。
• 请注意，在每一步 m 有 3 ^ m 个拆分。
• 现在我们将使用几何级数和对数规则将所有步骤组合在一起。最后，你会得到： T(n) = 3T(n/2)+n = 2n^(log3)-2n the calculation

Answer 3

这些类型的递归最容易被 Master Theorem 解决，用于分析算法，解释如下：

令a为大于等于1的整数，b为大于1的实数，c为正数实数。鉴于形式的重复 -

T (n) = a * T(n/b) + n^c 其中 n > 1，则对于 n 是 b 的幂em>，如果

1. 对数_ba c);
2. Lo​​g_ba = c, T (n) = Θ(n^c * Log n);
3. Lo​​g_ba > c, T (n) = Θ(n^log_ba)。

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您的复发的英文翻译

Master Theorem 中最关键要理解的就是递归中提到的常数a、b、c。让我们以您自己的重复 - T(n) = 3T(n/2) + n - 为例。

这个递归其实是说它所代表的算法是这样的，

(解决大小为 n 的问题的时间) = (解决 3 个大小为 n/2 的问题所花费的时间) + n

最后的 n 是合并那些 3 n/2 个大小问题的结果的成本。

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现在，您可以直观地理解：

• 如果“解决 3 个大小为 n/2 的问题”的成本比“n”的权重更大，那么第一项将确定整体复杂性；
• 如果成本“n”比“解决 3 个大小为 n/2 的问题”具有更大的权重，则第二项将确定整体复杂性；并且，
• 如果两个部分的权重相同，则解决子问题并合并它们的结果将具有整体复合权重。

从以上三个直观的理解，只出现了主定理的三种情况。

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在您的示例中，a = 3，b = 2 和 c = 1。因此它属于 case-3，因为 Log_ba = Log₂3 这是大于 1（c 的值）。

因此复杂性很简单 - Θ(n^log_ba) = Θ(n^log₂3 )。

Answer 4

在此处查看第 60 页http://www.cs.columbia.edu/~cs4205/files/CM2.pdf。

也许你应该在这里问https://math.stackexchange.com/