如何使用递归树求解 T(n) = 2*T(n/2) + n*log(n)？

Question

我有一个重复关系，如下所示：

T(n) = 2T(n/2) + nlog(n)

我正在使用递归树方法来解决这个问题。最后，我想出了以下等式：

n(log(n/2^0) + log(n/2^1) + log(n/2^2) + ....+ log(n/2^(log n)))*

在求解这个方程时，我得到的时间复杂度为 n(log n)^2 但是通过使用 ma​​ster's theorem 我得到了时间复杂度为 n(log(log n)) 请帮我找出我的错误。

Answer 1

让我们来看看你在这里的方程式：

n(log(n/2⁰) + log(n/2¹) + log(n/2²) + ... + log(n/2^{log n}))

现在，让我们使用对数的性质将 log(n / 2^k) 重写为 log n - log 2^k。这给了我们

n((log n - log 2⁰) + (log n - log 2¹) + (log n - log 2²) + ... + log n - (log 2^{log n}))

对数的另一个属性告诉我们 log 2^k = k log 2。此处未指定对数基数，因此为简单起见，我将假设它们是基数为 2 的对数.这意味着 log 2^k = k。这意味着我们有这个表达式：

n((log n - 0) + (log n - 1) + (log n - 2) + ... + (log n - log n))

= n(log n + (log n - 1) + (log n - 2) + ... + 2 + 1 + 0)。

您可能会将此内部和识别为高斯和：0 + 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1) / 2。这意味着这个和简化为

n (log n)(1 + log n) / 2

= Θ(n log² n).

这与主定理所说的相符。这是个好消息！

Answer 2

你错了。你也会 git n log^2(n) = n * log(n) * log(n) （在 seocnd 的情况下）。查看更多详情here（案例 2a）。

我们知道a = b = 2 表示c_crit = 1。因此作为f(n) = n log(n) = Theta(n log(n))，它的意思是k = 1 > -1。

Answer 3

Master Theorem 不适用于此循环，因为合并成本（循环中的 n * Log(n)）必须是 n 的幂。

但是，如果您将 n * Log(n) 设为 n² 的上限，则可以应用主定理。在这种情况下，它将产生 n² Log(n) 的复杂度。

此外，由于我们对合并成本采取了更宽松的限制，因此这种复杂性也更宽松。您的 n * Log²(n) 的复杂性可能更正确/更严格。