求解递归关系 T(n) = n*T(n - 1) + n! (n > 0, T(0) = 2)答案

【问题标题】：Solving the recurrence relation T(n) = n*T(n - 1) + n! (n > 0, T(0) = 2)求解递归关系 T(n) = n*T(n - 1) + n! (n > 0, T(0) = 2)
【发布时间】：2020-02-02 16:34:00
【问题描述】：

有人可以使用反向替换解决上述递归关系和渐近时间复杂度吗？我知道解决它的大师定理方法，但我不知道如何使用反向替换来获得该答案。

【问题讨论】：

标签： algorithm complexity-theory

【解决方案1】：

只是为了扩展：

T(n) = n*((n-1)*T(n-2) + (n-1)!) + n! =
       n*(n-1)*T(n-2) + n! + n!       =
       n*(n-1)*T(n-2) + 2 * n!        =
       n*(n-1)*((n-2)*T(n-3) + (n-2)!) + 2n! = 
       n*(n-1)*(n-2)*T(n-3) + 3 * n!

通过归纳，可以证明：

T(n) = n * (n-1) * (n-2) * ... * 3 * T(2) + (n-2) * n!

我们知道T(0) = 2 和T(2) = 2 T(1) + 2! = 2 * (T(0) + 1) + 2 = 8：

T(n) = 4 * n! + (n-2) * n! = (n+2) * n! = (n+1)! + n! = \Theta((n+1)!)

【讨论】：

那么什么是渐近时间复杂度或大 O 表示法？
但马斯特定理给出的答案是 O(n^2n)
@ChinmayVemuri 你如何在这里使用主定理？主定理中的a 和b 是什么？
我猜 a = n 和 b = 1
@ChinmayVemuri 你错了！ a 和 b 应该保持不变！另外，n-1不能写成n/b!