如何在 Data.Set 中插入 O(log(n))？

Question

查看Data.Set 的文档时，我看到了insertion of an element into the tree is mentioned to be O(log(n))。但是，我直觉上希望它是 O(n*log(n))（或者可能是 O(n)？），因为引用透明需要在 O(n) 中创建前一棵树的完整副本。

我知道例如(:) 可以设为 O(1) 而不是 O(n)，因为这里不必复制完整列表；编译器可以将新列表优化为第一个元素加上指向旧列表的指针（请注意，这是一个编译器 - 不是语言级别的 - 优化）。但是，将值插入Data.Set 涉及重新平衡，这在我看来相当复杂，以至于我怀疑是否存在类似于列表优化的东西。我尝试阅读the paper that is referenced by the Set docs，但无法用它回答我的问题。

那么：在（纯）函数式语言中，如何将元素插入二叉树是 O(log(n))？

Answer 1

为了更加强调 dave4420 在评论中所说的话，使(:) 在恒定时间内运行不涉及编译器优化。您可以实现自己的列表数据类型，并在简单的非优化 Haskell 解释器中运行它，它仍然是 O(1)。

列表被定义为一个初始元素加上一个列表（或者在基本情况下它是空的）。这是一个等同于原生列表的定义：

data List a = Nil | Cons a (List a)

因此，如果您有一个元素和一个列表，并且您想使用Cons 从它们中构建一个新列表，那只是直接从构造函数所需的参数创建一个新数据结构。甚至不需要检查尾部列表（更不用说复制它了），而不是在执行Person "Fred" 之类的操作时检查或复制字符串。

当您声称这是编译器优化而不是语言级别时，您完全错了。此行为直接遵循列表数据类型的语言级别定义。

类似地，对于定义为一个项目加上两棵树（或一棵空树）的树，当您将一个项目插入到非空树中时，它必须进入左子树或右子树。您需要构建包含该元素的该树的新版本，这意味着您需要构建一个包含新子树的新父节点。但是 other 子树根本不需要遍历；它可以按原样放入新的父树中。在平衡树中，可以共享树的完整 一半。

递归地应用这个推理应该告诉你实际上根本不需要复制数据元素；在向下插入元素的最终位置的路径上只需要新的父节点。每个新节点存储 3 样东西：一个项目（直接与原始树中的项目引用共享）、一个未更改的子树（直接与原始树共享）和一个新创建的子树（与原始树共享几乎所有的结构树）。在平衡树中会有 O(log(n)) 个。

Answer 2

无需制作Set 的完整副本即可将元素插入其中。在内部，元素存储在树中，这意味着您只需沿插入路径创建新节点。未触及的节点可以在Set 的插入前和插入后版本之间共享。正如Deitrich Epp 指出的那样，在平衡树中O(log(n)) 是插入路径的长度。 （很抱歉忽略了这个重要的事实。）

假设您的Tree 类型如下所示：

data Tree a = Node a (Tree a) (Tree a)
            | Leaf

...说你有一个看起来像这样的Tree

let t = Node 10 tl (Node 15 Leaf tr')

... 其中tl 和tr' 是一些命名的子树。现在假设您想将12 插入到这棵树中。嗯，看起来像这样：

let t' = Node 10 tl (Node 15 (Node 12 Leaf Leaf) tr')

tl 和 tr' 子树在 t 和 t' 之间共享，您只需构造 3 个新的 Nodes 即可，即使 t 的大小可能要大得多大于 3。

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编辑：重新平衡

关于再平衡，请这样想，并注意我在这里并不严谨。假设你有一棵空树。已经平衡了！现在说你插入一个元素。已经平衡了！现在假设您插入 另一个 元素。嗯，有一个奇数，所以你不能在那里做很多事情。

这是棘手的部分。假设您插入 另一个 元素。这可以有两种方式：向左或向右；平衡或不平衡。在它不平衡的情况下，您可以清楚地执行树的旋转来平衡它。在平衡的情况下，已经平衡了！

这里需要注意的重要一点是，您正在不断地重新平衡。并不是说你有一棵乱七八糟的树，决定插入一个元素，但在你这样做之前，你重新平衡，然后在完成插入后留下一团糟。

现在说你一直在插入元素。树的会变得不平衡，但幅度不大。当这种情况发生时，首先你要立即纠正，其次，纠正发生在插入路径上，即平衡树中的O(log(n))。您链接到的论文中的旋转最多接触树中的三个节点以执行旋转。所以你在重新平衡时正在做O(3 * log(n)) 工作。那仍然是O(log(n))。