关于 O((log n)²) 与 O(log n) 的混淆答案

【问题标题】：Confusion about O((log n)²) vs O(log n)关于 O((log n)²) 与 O(log n) 的混淆
【发布时间】：2020-10-21 23:19:35
【问题描述】：

我在互联网上找不到任何解释 O((log n)²) 等于什么的好东西。我认为它等于 O(log n)，通过以下论点：

O(log (log n)²)
= O(log (log n · log n))
= O(log log n + log log n)
= O(2 log log n)
= O(log log n)
从两边删除“log”会得到 O((log n)²) = O(log n)。李>

这有效吗？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

你在这里提出的论点很有趣，但不幸的是它不起作用。要了解原因，让我们“证明” O(n¹³⁷) = O(n)。为此，请注意

O(log n¹³⁷)

= O(137 log n)

= O(log n)。

所以从两边删除日志给我们 O(n¹³⁷) = O(n)。

但当然，这是不对的。原因是虽然如果 f(n) = O(g(n)) 则 log n = O(log g(n))，但通常情况并非如此log f(n) = O(log g(n)) 意味着 f(n) = O(g(n))。

至于您最初的问题 - log² n = O(log n) 的情况并非如此。事实上，对于任何不是 O(1) 的函数 f，都不是 f(n)² = O(f(n))。

【讨论】：

谢谢，这很有意义。但是，范围在 (-1,1) 之间的任何函数都不会具有 f(n)^2 = O(f(n)) 的属性吗？例如：f(n) =1/x，我们的域来自 (1,infinity)。这样的函数虽然对于算法分析几乎没有用，对吧？
Big-O 表示法在实际分析和计算机科学中的使用方式不同。在计算机科学中，我们正在寻找极限，因为 n 趋于无穷大。通常（但不总是）在分析中，极限趋向于零。所以这可能只是符号的问题，在不同的上下文中含义略有不同。

【解决方案2】：

如果A 以2*log(N) 为界，则exp(A) 以exp(2*log(N)) 为界，exp(2*log(N)) 大于exp(log(N)) = N。

在重新应用 exp() 之前删除“2”时，您的逻辑会崩溃。

【讨论】：

我明白了，所以我的逻辑本质上是这样的： e^(2*log(n)) = e^(log(n)) 这不是真的，因为 e^(2*log (n)) = e^(log(n)) * e^(log(n)) = n*n 和 e^(log(n)) = n，对吧？