网格约束的线性解答案

【问题标题】：linear solution of grid constraints网格约束的线性解
【发布时间】：2016-03-05 06:49:23
【问题描述】：

您有一个 n x n 网格，其中有 n 行和 n 列。对于每一列 j，您将获得一个数字 Cj，对于每一行 i，您将获得一个数字 Ri。你需要在网格上标记一些点，这样：

每行标记点数最多为Ri;
每列标记点数最多为Cj;
您标记满足最后两个约束的最大点数并返回此点数。

输入为：n（网格的维度）； Ri的序列和Cj的序列。

例如，在这个网格中，返回值为 34 example

在线性时间内找到一个算法：O(n) 或 O(n log(n)) 并带有演示。我找到了 Max-Flow alg 的解决方案。但是复杂度太高了。

【问题讨论】：

标签： algorithm dynamic-programming pseudocode greedy max-flow

【解决方案1】：

提示

我建议按照从最大 Ri 到最小的顺序遍历行。

跟踪每列有多少个空格。空格数从给定的 Cj 值开始。

对于每一行，根据列中当前的空格数，在网格中标记尽可能多的点。确保首先将点放在空格数最多的列中。

【讨论】：

你确定这是必要的吗？执行匹配的二分图是完整的，所以我认为顺序并不重要。
假设我们有 [2,2,2] 的列总和和 [2,2,2] 的行总和。如果我们做一个简单的贪心算法，我们会将列和减少到 [1,1,2]，然后到 [0,0,2]，然后发现我们无法分配最后一行中的值。
此解决方案为 O(n^2)，因为您必须迭代矩阵的单元格。您必须只返回最大点数而不表示它们。
@lorenzo188 排序：55421 55441。然后通过从列数组中减去来贪婪地分配每一行：55441 -> 44330 -> 33220 -> 22110 -> 11110 -> 11100。总的来说，我们能够减去 16 (5 + 4 + 4 + 2 + 1)
@lorenzo188 您可以使用更精细的数据结构将每次迭代的更新时间减少到 O(log n)。当然，嵌套循环不是一个非常有效的实现。基本上，您需要支持对一组大小为 n 的以下操作：（1）查找非零元素的数量（2）将每个非零元素减一。想到分段树（全二叉搜索树）或二叉索引树

【解决方案2】：

@NiklasB。使用增强的自平衡二叉搜索树，您可以在 O(Log n) 中将一个区间减 1，但是如何找到在 O(n) 的次要时间内不为零的元素数量？在这种情况下，例如输入4 3322 3322 3322 -> 2212 -> 1111 -> 0011 -> 0000 您取数字 3（行指示符的第一个元素）并将列的间隔 [0,2] 减 1，此成本为 O(Log n)，并且列指示符都是 > 0，但是当您到达 0011 时，您必须提醒 2 为零，因为如果您在行中有 3，如果您不想要一个负数，您只能减去 2。如果您说零的数量你只能取 n - 0 的间隔。但是你如何在不是 O(n) 的复杂度时间内管理这个问题？

【讨论】：